2014届上海市杨浦区高三数学一模试卷及答案

上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研

数学试卷(理科) 2014.1.2

考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上. 2.本试卷共有23道题,满分150分,考试时间120分钟.

一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.

3nlimn?n??3?11. 计算: .

2.若直线y?3x?1?0的倾斜角是?,则?? (结果用反三角函数值表示).

2x?14?0123.若行列式,则x? .

CA? .

4.若全集U?R,函数y?x的值域为集合A,则Uy2x?2?1(b?0)b5.双曲线的一条渐近线方程为y?3x,则b?________.

212x?1?1?????1?? . fx?3?2fxf6.若函数的反函数为,则

3cm1cm7. 若将边长为的正方形绕其一条边所在直线旋转一周,则所形成圆柱的体积等于 . 22f(x)?lgxf(ab)?1f(a)?f(b)? _________. 8. 已知函数,若,则

??9. 已知函数f(x)??sin?x?cos?x??1的最小正周期为?,则?? _________.

210. 某公司一年购买某种货物600吨,每次都购买x吨,运费为3万元/次,一年的总存储费用为2x万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买 吨. 11. 已知复数??2?i(i为虚数单位),复数________.

z?5????2,则一个以z为根的实系数一元二次方程是

1(x2?)nx的二项展开式中,所有二项式系数和为64,则该展开式中的常数项为 . 12. 若

22x?y?1有公共点的概率是 .{1,2,3}ax?by?3?0ba13.设,随机取自集合,则直线与圆

?f(x),x?0,F(x)??xf(x)?a?2?1(a?0)??f(x),x?0. 给出下列命题: 14.已知函数,定义函数

F(x)?f(x); ②函数F(x)是奇函数;③当a?0时,若mn?0,m?n?0,总有

F(m)?F(n)?0成立,其中所有正确命题的序号是 .

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.

b、c满足a?b,b//c,则直线a与c………( ). 15. 若空间三条直线a、(A)一定平行 (B)一定相交 (C)一定是异面直线 (D)一定垂直

x?0x?1?2x?116.“成立”是“成立”的………( ).

(A)充分非必要条件. (B)必要非充分条件. (C)充要条件. (D)既非充分又非必要条件.

17. 设锐角?ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c,且 a?1,B?2A, 则b的取值范围为………( ). (A)?2,3 . (B) 1,3 .(C)

????2,2 . (D) ?0,2? .

??b,(a?b)4a?b??f(x)?(1?)?log2xx?a,(a?b),已知函数18.定义一种新运算:,若函数g(x)?f(x)?k恰

有两个零点,则k的取值范围为………( ).

?1,2 . (B) (1,2 ). (C) (0,2) . (D) (0,1 ).

(A)

三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分 . 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a. (1)求异面直线A1B与B1C所成角的大小; (2)求四棱锥A1?ABCD的体积.

20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分7分,第(2)小题满分7分 .

2m?x,1,n??a,1?2ax?,其中a?0.函数g?x??m?n在区间x??2,3?上有最大值为已知向量

???4,设

f?x??g?x?x.

(1)求实数a的值;

xxf3?k3?0在x???1,1?上恒成立,求实数k的取值范围. (2)若不等式

??21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分9分 . 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”,其中AC、BD是过抛物线?焦点F的两条弦,且其焦点F(0,1),AC?BD?0,点E为y轴上一点,记?EFA??,其中?为锐角.

求抛物线?方程;

如果使“蝴蝶形图案”的面积最小,求?的大小?

22. (本题满分16分)本题共有3个小题,第(1)小题满分10分,第①问5分,第②问5分,第(2)小题满分6分.

x2?y2?1已知椭圆?:4.

(1) 椭圆?的短轴端点分别为A,B(如图),直线AM,BM分别与椭圆?交于E,F两点,其中点

1??M?m,?2?满足m?0,且m??3. ?①证明直线EF与y轴交点的位置与m无关; ②若?BME面积是?AMF面积的5倍,求m的值;

22x?y?4.l1,l2是过点P(0,?1)的两条互相垂直的直线,其中l1交圆?于T、 ?(2)若圆:

R两点,l2交椭圆?于另一点Q.求?TRQ面积取最大值时直线l1的方程.

23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分13分,第①问5分,

第②问8分.

*an?2S??kn?b??a1?an??p成立, (其中k、b、p是?Sn?Nnn设是数列的前项和,对任意都有n常数) .

S(1)当k?0,b?3,p??4时,求n;

(2)当k?1,b?0,p?0时, ①若

a3?3,a9?15,求数列{an}的通项公式;

②设数列如果

?an?中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“?数列”.

*a2?a1?2,试问:是否存在数列?an?为“?数列”

,使得对任意n?N,都有

1111????Sn?0,且12S1S2S3?111?Sn18.若存在,求数列?an?的首项a1的所

有取值构成的集合;若不存在,说明理由.

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