上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研
数学试卷（理科） 2014.1.2
考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
3nlimn?n??3?11. 计算： ．
2．若直线y?3x?1?0的倾斜角是?，则?? (结果用反三角函数值表示).
2x?14?0123．若行列式，则x? .
CA? .
4．若全集U?R，函数y?x的值域为集合A，则Uy2x?2?1(b?0)b5．双曲线的一条渐近线方程为y?3x，则b?________.
212x?1?1?????1?? ． fx?3?2fxf6．若函数的反函数为，则
3cm1cm7. 若将边长为的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于 . 22f(x)?lgxf(ab)?1f(a)?f(b)? _________. 8. 已知函数，若，则
??9. 已知函数f(x)??sin?x?cos?x??1的最小正周期为?，则?? _________．
210. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨． 11. 已知复数??2?i（i为虚数单位），复数________.
z?5????2，则一个以z为根的实系数一元二次方程是
1(x2?)nx的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为 ． 12． 若
22x?y?1有公共点的概率是 ．{1,2,3}ax?by?3?0ba13．设，随机取自集合，则直线与圆
?f(x),x?0,F(x)??xf(x)?a?2?1(a?0)??f(x),x?0. 给出下列命题： 14．已知函数，定义函数
①
F(x)?f(x)； ②函数F(x)是奇函数；③当a?0时，若mn?0，m?n?0，总有
F(m)?F(n)?0成立，其中所有正确命题的序号是 .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
b、c满足a?b，b//c，则直线a与c………（ ）. 15. 若空间三条直线a、(A)一定平行 (B)一定相交 (C)一定是异面直线 (D)一定垂直
x?0x?1?2x?116．“成立”是“成立”的………（ ）.
(A)充分非必要条件． (B)必要非充分条件． (C)充要条件． (D)既非充分又非必要条件．
17. 设锐角?ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且 a?1，B?2A, 则b的取值范围为………（ ）. (A)?2,3 ． (B) 1,3 ．(C)
????2,2 ． (D) ?0,2? ．
??b,(a?b)4a?b??f(x)?(1?)?log2xx?a,(a?b)，已知函数18．定义一种新运算：，若函数g(x)?f(x)?k恰
有两个零点，则k的取值范围为………（ ）.
?1,2 ． (B) (1,2 )． (C) (0,2) ． (D) (0,1 )．
(A)
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ． 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a. （1）求异面直线A1B与B1C所成角的大小； （2）求四棱锥A1?ABCD的体积.
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ．
2m?x,1，n??a,1?2ax?，其中a?0.函数g?x??m?n在区间x??2,3?上有最大值为已知向量
???4,设
f?x??g?x?x.
(1)求实数a的值；
xxf3?k3?0在x???1,1?上恒成立，求实数k的取值范围. (2)若不等式
??21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ． 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC、BD是过抛物线?焦点F的两条弦，且其焦点F(0,1)，AC?BD?0，点E为y轴上一点，记?EFA??，其中?为锐角．
求抛物线?方程；
如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求?的大小？
22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分6分.
x2?y2?1已知椭圆?：4.
(1) 椭圆?的短轴端点分别为A,B(如图)，直线AM,BM分别与椭圆?交于E,F两点，其中点
1??M?m,?2?满足m?0，且m??3. ?①证明直线EF与y轴交点的位置与m无关； ②若?BME面积是?AMF面积的5倍，求m的值；
22x?y?4.l1,l2是过点P(0,?1)的两条互相垂直的直线,其中l1交圆?于T、 ?(2)若圆:
R两点,l2交椭圆?于另一点Q.求?TRQ面积取最大值时直线l1的方程.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分13分，第①问5分,
第②问8分.
*an?2S??kn?b??a1?an??p成立， (其中k、b、p是?Sn?Nnn设是数列的前项和，对任意都有n常数) ．
S（1）当k?0，b?3，p??4时，求n；
（2）当k?1，b?0，p?0时， ①若
a3?3，a9?15，求数列{an}的通项公式；
②设数列如果
?an?中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“?数列”.
*a2?a1?2，试问：是否存在数列?an?为“?数列”
，使得对任意n?N，都有
1111????Sn?0，且12S1S2S3?111?Sn18．若存在，求数列?an?的首项a1的所
有取值构成的集合；若不存在，说明理由．