受外力有N、Mg和mg，由动量定理：
(N?Mg?mg)?t?mv2mv2?Mg?mg?t
根据牛顿第三定律，滑块对地的平均作用力大小为
N?F?N?方向竖直向下。
mv2?Mg?mg?t
3-12 在X射线散射实验中，测得入射光子的动量为1.177?10子碰撞后沿与入射方向成?/2的方向弹开，动量变为1.128?10?13?13kg?m?s?1，光子与电
kg?m?s?1。设碰撞前电
子静止，求碰撞后电子的动量。
解：设入射光子动量为p0，与电子碰撞后光子动量为p1，电子被碰撞后动量为p2，
如图所示。以光子和电子为研究对象，碰撞过程中动量守恒：
p0?p1?p2p0?p2cos?0?p1?p2sin?
联立以上两式，解之得
22p2?p0?p1?1.1772?1.1282?10?13
题3-12图
=1.630?10?13(kg?m?s?1)
??arctg??
?p1??1.128????arctg???43.78??1.177??p2?
3-13 一人从10m深的井中提水。起始时桶中装有10kg的水，桶的质量为1kg，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水，求水桶匀速地从井中提到井口，人所做的功。 解：以井中水面为坐标原点，取竖直向上为y轴正方向。将水桶提到高为y处瞬时，人
用力的大小为F?mg?ky
?1式中m为满桶水加水桶的质量，k为每升1m漏掉的水的重量，即k?0.2gN?m
水桶再升高dy，力F做的功为
??dA?Fdy??mg?ky?dy
设水是从井水面处打起的，则将一桶水提到井口处，力F做的功为
10A?dA????mg?ky?dy
01????mgy?ky2?|1002??1?11?9.81?10??0.2?9.81?1022?981?J?
3-14 如图所示的系统中（滑轮质量不计，轴光滑），外力F通过不可伸长的绳子和一?1劲度系数k?200N?m的轻弹簧缓慢地拉地面上的物体，物体的质量M?2kg，初始时弹簧为自然长度。求在把绳子拉下20cm的过程中，F所做的功。（重力加速度g取10m?s?2）
解：F力刚向下拉时，弹簧伸长，物体并未被拉离地面。设物体开始离地时弹簧伸长x0，则由kx0?Mg，得
x0?Mg2?10??0.1?m?k200
0?x?x0x?x0
此后物体匀速上升。力F的变化为
?kxF???MgF力向下拉h?20cm过程中，做功为
A?题3-14图
?x00kxdx??hx0Mgdx?12x0kx|0?Mgx|hx021??200?0.12?2?10?(0.2?0.1)2?3?J?
3-15 如图，长为L、质量为m的匀质链条，置于水平桌面上，链条与桌面间的摩擦系数为?，下垂部分的长度为a。链条由静止开始运动，求在链条滑离桌面过程中，重力和摩擦力所做的功和链条离开桌面时的速率。
解：建立如图坐标系，设下垂部分链条长度为x,受到的重力大小为
P?mxgL AP?在链条滑离桌面的过程中，重力所做的功为
?LaPdx??LamgmgL2?a2xdx?L2L
??桌面上链条长为(L?x)，在滑动中受到的摩擦力大小为
在链条滑离桌面的过程中，摩擦力所做的功为
f???L?x?mgL题3-15图
Af??f?dl????LaLafdxmgdx????L?x?L2L设链条离开桌面时的速率为v，由动能定理
???mg?L?a?2
2mgL2?a2?mg?L?a?1AP?Af???mv22L2L2
得
??v?
g22L?a2???L?a?L
??3-16 如图所示，一弹簧劲度系数为k，一端固定在A点，另一端连一质量为m的物
体，靠在光滑的半径为a的圆柱面，弹簧原长为AB。在切向变力
F的作用下，物体极缓慢地沿表面从位置B移到C，求力F做的
功。
（1）用积分方法解； （2）用动能定理解； （3）用功能原理解。
解：（1）在任一位置，物体所受的力有重力P?mg，弹簧拉力f?kx?ka?，支持力N和切向拉力F（方向如图所示）。物体
题3-16图
极缓慢地运动，可以认为任一时刻都处于平衡状态，由?F?0，可得
F?mgcos??ka?
F的功为
AF?F?dl?Fdl??magsin??????mgcos??ka??ad?0?122ka?2
（2）因为物体极缓慢地运动，?Ek?0，由动能定理，外力功的代数和为零，即
AF?Af?AP?AN?0AF??Af?AP?AN???a?0kxdx?mgasin??0122ka??magsin?2
（3）由功能原理：
AF?AN?AF?0??Ek??EP?0??EP
1AF??EP?ka2?2?magsin?2得
3-17 一质量为m的人造地球卫星沿一圆形轨道，离开地面的高度等于地球半径的二倍（即2R）。试以m、R引力恒量G和地球质量M表示出：
（1）卫星的动能；
（2）卫星在地球引力场中的引力势能； （3）卫星的总机械能。 解：（1）由牛顿第二定律
G得人造卫星的动能为
mM?3R?2mv2?3R
1GMmEk?mv2?26R
（2）以无穷远处为引力势能零点，人造卫星的势能为
EP???3R?GMmGMmdr??3R r2（3）卫星的总机械能为
E?Ek?EP?
GMmGMmGMm???6R3R6R
3-18 一长为L的轻棒，其上固定装有质量分别为M1和M2的两个小球：M1在棒的一
端，M2在棒的中点。棒可绕光滑轴A自由转动。初始时棒铅直悬挂，如图所示。现有一质
?量为m的油灰球以水平速度v0撞击M2，使棒刚能转过90而达到水平位置。设碰撞是完全非弹性的，且M1?m,M2?4m,L?1m，求油灰球速度v0的大小。
解：在碰撞过程中，m、M1和M2组成的系统所受外 力对A轴的力矩为零，系统角动量守恒，设碰后杆的角速 度为?，则有
2?L??L?2mv0????M2?m????M1L??2??2????
题3-18图
以m、M1、M2和地球为系统，在转动过程中只有保
守内力做功，系统机械能守恒。设M1原来的位置为势能零 点，则有
2?21?L?L?2???M2?m???M1L????M2?m?g??M1?M2?m?gL2?2?2????
由以上两式可以解出
v0
63g63?9.81??24.9L1?m?s??1