?(x?x1)a?(y?y1)b?(z?z1)c?0??(x2?x1)a?(y2?y1)b?(z2?z1)c?0 ?(x?x)a?(y?y)b?(z?z)c?03131?31∵a,b,c不全为零,
∴该方程组至少有一个非零解,由定理知,其系数行列式的值为零,即
x?x1y?y1y2?y1y3?y1z?z1z2?z1?0 z3?z1 x2?x1x3?x1此即?的方程.
例3:求四点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4)在同一平面
上的充要条件.
解:设A,B,C,D共面于平面ax?by?cz?d?0 (a,b,c不全为零),则有
?ax1?by1?cz1?d?0?ax?by?cz?d?0?222 ??ax3?by3?cz3?d?0??ax4?by4?cz4?d?0??(*)
则(*)是关于变量a,b,c,d的齐次线性方程组.又由于a,b,c不全为零,故
a,b,c,d不全为零,即方程组(*)存在一组非零解,由定理知,(*)有一组非
零解的充分必要条件是:
x1
y1y2y3y4z11z21z31z41?0
x2x3x4
此亦为所求.
例4:试证三平面aix?biy?ciz?0 i?(1,2,3)共线的充分必要条件是:
a1 a2a3b1b2b3c1c2?0 c3证明:显然坐标原点(0,0,0)是三平面的一个公共点.于是,三平面能否共线的问题在于它们有无除原点以外的公共点,也就是方程组:
3
?a1x?b1y?c1z?0? ?a2x?b2y?c2z?0
?ax?by?cz?033?3有无非零解的问题,于是由定理知其充要条件是:
a1 a2a3b1b2b3c1c2?0 c3（二）用三元一次线性方程组的解来判断平面的位置关系
线性代数中的线性方程组的结构理论对深刻领会直线、平面的位置关系起到重要作用，下面以一个三元一次线性方程组为例[4]. 设空间中三个平面?1,?2,?3,其方程为:
?a1x?b1y?c1z?d1(?3)? ?a2x?b2y?c2z?d2(?2)
?ax?by?cz?d(?)3333?3其系数矩阵为A,增广矩阵为A,那么方程组的解可以分为以下几个情形: 1.如果r(A)?r(A)?r,三个平面有公共点,方程组有解.
①如果r?3,方程的系数矩阵可逆,则方程存在唯一解,这时三个平面相交于一点.
②如果r?2,方程组的解等价于某两个线性无关的解,存在无穷多个解,此时三个平面相交于一条直线.
③如果r?1,三个方程组重合为一个方程组,方程组有无穷多解,三个平面重合.
2. 当r(A)?r(A),三个平面没有公共交点,方程组无解.由平面方程定义可知1?r(A)?r(A)?r(A)?1.
① 如果r(A)?2,r(A)?3,设A??a1,a2,a3?,则分为两种情况:
T 如果A的行矢量两两线性无关,则三个平面形成一个三棱柱. 如果A的其中两个行矢量线性相关,不妨假设为a1与a2线性相关,则?1,?2,平行,与?3相交.
②如果r(A)?1,r(A)?2,三个平面互相平行,设A??a1,a2,a3?.
T 4
如果(Ai,Aj)(i?j)线性无关,则三个平面互相平行但不重合. 如果A的其中两个行矢量线性相关,不妨假设为a1,a2,则?1,?2重合,与?3平行.
（三）二次型的理论和方法在化简二次曲面、二次曲线方程中的应用
当我们从几何空间抽象出一般矢量空间后,又可以将其中得到的结论和方法应用于解决几何问题.在空间解析几何中,空间二次曲面用一个三元二次方程表示,这是线性代数中二次型的特例[4],所以,在线性代数中关于二次型的理论和方法又可以解决几何中二次曲面、二次曲线化简的问题.
例1：证明二次曲面4y2?4z2?4yz?2x?14y?22z?33?0为椭圆抛物面. 解:利用二次型理论化方程为标准方程,该曲面方程可写成：
?000??x??x????????xyz??042??y????2?14?22??y???33
?024??z??z???????或xTAx?bTx??33,其中?x??000???2??????? x??y?,A??042?,b???14??z??024???22???????
???10?1经计算得正交矩阵P??02??10??2???0?1??1T?使得PAP?PAP?diag?0,2,6?, 2?1??2??x??x??????所以通过坐标旋转变换?y??P?y??,?z??z?? ????有XTAX?2y?2?6z?2, 5
?x????836bTx?bTP?y????2x??y??z?
122?z????带入曲面方程，得：
8362?3????2y??6z??2x??y??z???33,即2?y???6z?????2?x??1?
1222?2???2222再做坐标平移变换
x??x???1,y??y???23,z??z???, 22原曲面方程化为了标准方程y??2?3z??2?x??从标准方程可以看出二次曲面为椭圆抛物面.
同样，应用二次型理论可以化简二次曲线一般方程为标准方程，从而确定二次曲线的形状，这里不再进行讨论.
（四）矩阵的秩在空间解析几何中的应用
矩阵的秩是代数中的基础概念，将它的理论推广到解析几何中，会收到很好的效果下面讨论矩阵的秩关于解析几何的几个定理及其应用[5].
?a1x?b1y?c1z?d1?0定理1：已知两条直线?
ax?by?cz?d?0222?2?ax?b3y?c3z?d3?0 ?3
?a4x?b4y?c4z?d4?0?a1b1c1??a1b1c1d1??abc??abcd?2? 矩阵?222?和?222?a3b3c3??a3b3c3d3?????abcabcd44?444??4?4的秩分别是r和R,则：
①两条直线既不平行也不相交的充要条件是r?3,R?4； ②两条直线相交的充要条件是r?R?3；
③两条直线平行且相异的充要条件是r?2,R?3； ④两条直线重合的充要条件是r?R?2；
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定理2：已知面?1:a1x?b1y?c1z?d1与平面?2:a2x?b2y?c2z?d2，设线性方程组
?a1x?b1y?c1z?d1 ? (1)的系数矩阵为A，增广矩阵为A,则
ax?by?cz?d222?2??②若秩(A)=秩?A??1，平面?与?重合；
③若秩(A)?1，但秩?A?=2，平面?与?平行.
12①若秩(A)=秩A?2，平面?1与?2相交于一条直线；
12证明：考虑线性方程组(1)
①若秩(A)?2，且秩(A)?2，此时方程组(1)有解，设它的一个特解为
?0??x0,y0,z0?，它的导出组 (2)
的系数矩阵A的秩为2，而未知量有3个，因此方程组(2)有非零解，且基础解系里解的个数为3?2?1个设??(e1,e2,e3)，是导出组的一个基础解系，则方程组（1）的全部解为r0?k??(x0?ke1,y0?ke2,z0?ke3)，其中k取遍全体实数.从解析几何知，当k取遍全体实数时，点
r0?k??(x0?ke1,y0?ke2,z0?ke3)
的轨迹是通过点r0?(x0,y0,z0),且方向向量为平面所以当秩?的一条直线，
(A)?2时，平面?1与?2相交于一条直线.
②若秩(A)?1，且秩(A)?1此时方程组(1)有解，因为a1,b1,c1,d1与
?a1(a2,b2,c2,d2)成比例，于是??a?2b1b2c1c2d1??a1????d2???0b10c10d1??所以方0??程组(1)的一般解为a1x?b1y?c1z?d1这就是平面?1的方程,因此平面?1与
?2，重合.
③若秩(A)?1,但秩(A)?2此时方程组(1)无解，即平面?1与?2没有公共点，所以?1与?2平行.
由于a1,b1,c1不全为零，所以,因此只有上述三种情况. 定理3：已知三个平面：
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