?(x?x1)a?(y?y1)b?(z?z1)c?0??(x2?x1)a?(y2?y1)b?(z2?z1)c?0 ?(x?x)a?(y?y)b?(z?z)c?03131?31∵a,b,c不全为零,
∴该方程组至少有一个非零解,由定理知,其系数行列式的值为零,即
x?x1y?y1y2?y1y3?y1z?z1z2?z1?0 z3?z1 x2?x1x3?x1此即?的方程.
例3:求四点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4)在同一平面
上的充要条件.
解:设A,B,C,D共面于平面ax?by?cz?d?0 (a,b,c不全为零),则有
?ax1?by1?cz1?d?0?ax?by?cz?d?0?222 ??ax3?by3?cz3?d?0??ax4?by4?cz4?d?0??(*)
则(*)是关于变量a,b,c,d的齐次线性方程组.又由于a,b,c不全为零,故
a,b,c,d不全为零,即方程组(*)存在一组非零解,由定理知,(*)有一组非
零解的充分必要条件是:
x1
y1y2y3y4z11z21z31z41?0
x2x3x4
此亦为所求.
例4:试证三平面aix?biy?ciz?0 i?(1,2,3)共线的充分必要条件是:
a1 a2a3b1b2b3c1c2?0 c3证明:显然坐标原点(0,0,0)是三平面的一个公共点.于是,三平面能否共线的问题在于它们有无除原点以外的公共点,也就是方程组:
3
?a1x?b1y?c1z?0? ?a2x?b2y?c2z?0
?ax?by?cz?033?3有无非零解的问题,于是由定理知其充要条件是:
a1 a2a3b1b2b3c1c2?0 c3（二）用三元一次线性方程组的解来判断平面的位置关系
线性代数中的线性方程组的结构理论对深刻领会直线、平面的位置关系起到重要作用，下面以一个三元一次线性方程组为例[4]. 设空间中三个平面?1,?2,?3,其方程为:
?a1x?b1y?c1z?d1(?3)? ?a2x?b2y?c2z?d2(?2)
?ax?by?cz?d(?)3333?3其系数矩阵为A,增广矩阵为A,那么方程组的解可以分为以下几个情形: 1.如果r(A)?r(A)?r,三个平面有公共点,方程组有解.
①如果r?3,方程的系数矩阵可逆,则方程存在唯一解,这时三个平面相交于一点.
②如果r?2,方程组的解等价于某两个线性无关的解,存在无穷多个解,此时三个平面相交于一条直线.
③如果r?1,三个方程组重合为一个方程组,方程组有无穷多解,三个平面重合.
2. 当r(A)?r(A),三个平面没有公共交点,方程组无解.由平面方程定义可知1?r(A)?r(A)?r(A)?1.
① 如果r(A)?2,r(A)?3,设A??a1,a2,a3?,则分为两种情况:
T 如果A的行矢量两两线性无关,则三个平面形成一个三棱柱. 如果A的其中两个行矢量线性相关,不妨假设为a1与a2线性相关,则?1,?2,平行,与?3相交.
②如果r(A)?1,r(A)?2,三个平面互相平行,设A??a1,a2,a3?.
T 4
如果(Ai,Aj)(i?j)线性无关,则三个平面互相平行但不重合. 如果A的其中两个行矢量线性相关,不妨假设为a1,a2,则?1,?2重合,与?3平行.
（三）二次型的理论和方法在化简二次曲面、二次曲线方程中的应用
当