?a1x?b1y?c1z?d1?0??a2x?b2y?c2z?d2?0?ax?by?cz?d?0
333?3设r和R分别是矩阵
?a1A???a2??a3b1b2b3c1??a1?c2??,B??a2?c3???a3b1b2b3c1c2c3d1?d2??d3??
的秩，则：
①三个平面有唯一公共点的充要条件是r?3；
②三个平面两两相异且有唯一公共点的充要条件是r?R?2，且矩阵
A的任何两行不成比例；
③三个平面两两相交且每两个平面的交线平行于第三个平面的充要条件是r?2,R?3，且矩阵A的任何两行不成比例；
④两个平面平行，第三个平面与它们相交的充要条件是r?2,R?3，且A的两行成比例；
⑤三个平面相互平行的充要条件是r?1,R?2，B的任何两行不成比例；
⑥两个平面重合，第三个平面与它们相交的充要条件是r?R?2，且
B的两行成比例；
⑦两个平面重合，第三个与它们平行的充要条件是r?1,R?2，且B的两行成比例；
⑧三个平面重合的充要条件是r?R?1； 例 ：证明下列两条直线互相平行：
?x?2y?z?7L1:???2x?y?z?7 ?3x?6y?3z?8与L2:?
?2x?y?z?0证明：由定理1的③只需证明r?2,R?3.
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?1??2令：A???3??22?1??1??211?? B???36?3????1?1??22?1?7?11?7?? 6?3?8???1?10??1?0?A???0??02?1??1?05?1????00??0???51??02500?1??1?? 0??0??r?A??r?2
?1?0?B???0??02?1?7??1?05?1?2????0013??0???5114??02?1?7?5?1?2?? 0013??000? ?r?B??R?3，故由定理:1③知，两条直线平行. 解析几何证明是：
?2?1?1112??S1??,,?111?2?21?? ??3,1,5??6?3?3336?S2??,,??1?1?122?1 ?? ???9,?3,?15?故S2??3S1,即S1平行S2，亦即两条直线平行.
从上面两种证法可以看出：采用矩阵的秩的有关结论证明平面与平面的位置关系；直线与直线的位置关系是简单而方便的.
三、空间解析几何在线性代数中的应用
（一）代数问题几何化意义
线性代数中有许多概念是非常抽象的,以至于学生在学习时被这些概念所困扰,因此可以用几何空间的例子化解学习线性代数时的困难[4].下面以向量空间为例来说明.在线性代数中所涉及到的向量空间是Rn,理解
n维向量空间的概念是较抽象的，其实它就是空间解析几何中R3的推广.而对于R3空间它有具体的几何意义，我们是熟悉的.这样把它推广到一般
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我们就很容易接受了.学生理解了一般向量空间的概念后,就会n维空间，
知道向量空间是一个非常广泛、非常抽象的概念,不仅Rn是n维向量空间,R[x]n(次数不超过n的实系数多项式的集合)也是n维向量空间,不仅有有限维向量空间,还有无限维向量空间,如V={f(x)|f为定义在[a,b]的实函数}也是向量空间,这些现代数学思想,对我们今后进一步学习和应用数学,都是非常有益的.
由于一般向量空间有着高度的抽象性,因此,我们在讨论这个概念及有关理论时,强调几何空间例子的引导作用,从而化解对抽象概念的理解,如:讨论一般向量空间定义时,用几何空间R1,R2,R3作为例子；在讨论子空间定义时,用R1,R2是R3的子空间作为例子；在讨论向量的线性相关性时,用两向量共线,三向量共面作为例子；在讨论向量空间基、维数、坐标时,用几何空间的仿射坐标系作为例子；在讨论向量空间的任一基可通过Schmidt正交化算法构造一个标准正交基时,也是利用几何空间R3中的三向量(1,0,0),(2,2,0),(3,3,3),构造出一个标准正交基(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(如图1),然后,合理的推出Schmidt正交化算法.
???v1?(1,0,0),v2?(2,2,0),v3?(3,3,3)z v3 O v1 v2 y x
?1?v1?(1,0,0)，
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?????1e1???(1,0,0)
?1
??(v2,?1)????????2?v2?(v2,e1)ee1?v2????1?(0,2,0),(?1,?1) ???2e2???(0,1,0),?2????(v3,?1)?(v3,?2)?????????3?v3?(v3,e1)?(v2,e2)e2?v3????1????2?(0,0,3),
(?1,?1)(?2,?2)????3e3???(0,0,1)
?3通过以上代数与几何的整合,说明向量空间V作为一种代数结构,集合V的对象是抽象的,V上的加法与数乘两种运算有他们所满足的性质,即:加法公理和数乘公理,而向量空间的加法、数乘和基都是以几何空间中向量的加法、数乘及空间仿射坐标系为直觉图象发展起来的,使抽象有限维向量空间得到与几何空间仿射坐标系几乎同样的结构.n维空间Rn是像三维空间R3一样具体的几何对象,可以在其中谈论超平面以及展开多元微积分学,这是科学中一种普遍的思维方式.曾获诺贝尔物理学奖的日本物理学家汤川秀树,描述过这种思维方式[3]:“抽象不能单独起作用,在几何富有成果的科学思维中,直觉和抽象交互为用”.不但某种本质性东西必须从我们丰富的而多少有点儿模糊的直觉图形中抽象出来,而且同样真实的是,作为人类抽象能力的成果而建立起来的某一个概念也常常在时间的进程中变成我们直觉图象的一部分.从这种新建立起来的直觉,人们可以继续做出进一步的抽象.
（二）几个线性代数概念的几何化解释
1.关于行列式的几何背景[6]
???设??(a1,a2,a3)，??(b1,b2,b3)，??(c1,c2,c3)两个向量的向量积可以用行列式写为:
??????a1a2a3，它在几何上表示的是与?，?向量都垂直且成右手系
??ijkb1b2b3的向量.三个向量的混合积可以用行列式
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a1a2a3??????(?,?,?)?(???)???b1b2b3c1c2c3
表示为图1的平行六面体.
γ β α 图 1
此行列式的几何解释是它的绝对值等于他们3个向量为相邻棱所做的平 行六面体的体积（如图1）
???特别的，当(?,?,?)?0时，由于平行六面体的体积为零.所以
a1a2a3b1b2b3c1c2c3xy1????0??,?,?共面.由此可得：过平面上两点(x1,y1)，(x2,y2)的
直线方程为: x1x2y11?0 y21 12