由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c＝a2
c
?c，
又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，c＝1．
∴椭圆C的标准方程为x2y24?3?1；
（2）当直线l与x轴重合时，M（﹣2，0），N（2，0），此时MF＝3NF，不合题意； 当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），
?联立?x?my?1?2222
?x2y2，得（3m+4）y+6my﹣9＝0．△＝36m?4?3?1+36（m+4）＞0．
y6m1?y2??3m2?4 ①，y91y2??3m2?4②，由MF＝2FN，得y1＝﹣2y2③， 联立①③得，y12m1??3m2?4,y2?6m3m2?4， 2代入②得，?72m?3m2?4?2??93m2?4，解得m??255．∴直线方程为5x?2y?5?0；（3）当直线l的斜率为0时，则M（2，0），N（﹣2，0），设P（x0，y0）， 则PM?PN＝|（x0﹣2）（x0+2）|，∵点P在椭圆外，∴x0﹣2，x0+2同号， 又PF2??x20?1?,??x0?2??x0?2???x0?1?2，解得x0?52． 当直线l的斜率不为0时，由（2）知，y1?y2??6m93m2?4,y1y2??3m2?4， PM?1?m2y1?y0,PN?1?m2y2?y0,PF?1?m2y0．
∵点P在椭圆外，∴y1﹣y0，y2﹣y0同号， ∴PM?PN＝（1+m2）（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝?1?m2???yy?y2120?y1?y2??y0??
??1?m2???26m9?22?y0?3m2?4?3m2?4????1?m?y0，
整理得y0?32m，代入直线方程得x550?2．∴点P在定直线x?2上． 3．已知抛物线C：y2?4x的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，O是坐标原点．（1）若直线l过点F且AB?8，求直线l的方程；
（2）已知点E(?2,0)，若直线l不与坐标轴垂直，且?AEO??BEO，证明：直线l过定点．
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【答案】（1）y?x?1或y??x?1；（2）(2,0). 【解析】
解：（1）法一：焦点F(1,0)，
当直线l斜率不存在时，方程为x?1，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,?2)， 此时AB?4，不符合题意，故直线的斜率存在．
设直线l方程为y?k(x?1)与y2?4x联立得k2x2?2?k2?2?x?k2?0，
当k?0时，方程只有一根，不符合题意，故k?0.x2?k2?2?1?x2?k2，
抛物线的准线方程为x??1，
由抛物线的定义得|AB|?|AF|?|BF|??x21?1???x2?1???k2?2?，
k2?2?8解得k??1，
所以l方程为y?x?1或y??x?1.
法二：焦点F(1,0)，显然直线l不垂直于x轴，设直线l方程为x?my?1,
与y2?4x联立得y2?4my?4?0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，y1?y2?4m，y1y2?4.
|AB|??x1?x22???y1?y22??1?m2?y21?y2?2?1?m?y21?y2??4y1y2?4?1?m2?，由AB?8，解得m??1， 所以l方程为y?x?1或y??x?1. （2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
设直线l方程为x?my?b(m?0)与y2?4x联立得：y2?4my?4b?0，
可得y1?y2?4m，y1y2??4b. 由?AEO??BEO得kEA?ky1EB，即
x??y2x. 1?22?2整理得y1x2?2y1?x1y2?2y2?0，即y1(my2?b)?2y1?(my1?b)y2?2y2?0，
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整理得2my1y2?(b?2)(y1?y2)?0， 即?8bm?4(b?2)m?0，即b?2. 故直线l方程为x?my?2过定点(2,0).
x2y24．已知椭圆2?2?1(a?b?0)，A?2,0?是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，点C在第一象
ab限，且AC?BC?0，|OC?OB|?2|AB?BC|． （1）求椭圆的标准方程；
（2）设P、Q为椭圆上不重合的两点且异于A、B，若?PCQ的平分线总是垂直于x轴，问是否存在实数?，使得PQ??AB？若不存在，请说明理由；若存在，求?取得最大值时的PQ的长．
x23y2230【答案】(1) ??1 (2)
443【解析】
（1）∵AC?BC?0，∴?ACB?90?，
∵|OC?OB|?2|AB?BC|．即|BC|?2|AC|， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∵A?2,0?，∴C?1,1?， 而点C在椭圆上，∴
4112b???1，，∴， a?2a2b23x23y2∴所求椭圆方程为??1．
44（2）对于椭圆上两点P，Q， ∵?PCQ的平分线总是垂直于x轴， ∴PC与CQ所在直线关于x?1对称，
kPC?k，则kCQ??k，
∵C?1,1?，∴PC的直线方程为y?k?x?1??1，①
QC的直线方程为y??k?x?1??1，②
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x23y2222将①代入??1，得?1?3k?x?6k?k?1?x?3k?6k?1?0，③
44∵C?1,1?在椭圆上，∴x?1是方程③的一个根，
3k2?6k?1∴xP?，
1?3k23k2?6k?1以?k替换k，得到xQ?． 23k?1∴kPQ?k?xP?xQ??2kxP?xQ?1， 3∵?ACB?90，A?2,0?，C?1,1?，弦BC过椭圆的中心O， ∴A?2,0?，B??1,?1?，∴kAB?∴kPQ?kAB，∴PQ∥AB， ∴存在实数?，使得PQ??AB，
1， 316023022???12k?4k????1|PQ|???3， 2??22?9k??6?1?3k??1?3k?k2当9k?213时，即时取等号， k??2k3230， 323023 ，
?3?310|PQ|max?又|AB|?10，
?max∴?取得最大值时的PQ的长为
230． 32225．已知抛物线y?16x，过抛物线焦点F的直线l分别交抛物线与圆(x?4)?y?16于A,C,D,B（自
上而下顺次）四点.
（1）求证：|AC|?|BD|为定值；
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