第2章 结构力学总复习 13
第2章 结构力学总复习
Review of Structural Mechanics
这一章的目的是希望能够在最短的时间内，帮读者对结构力学作一个总复习，以具备必要的背景知识去理解以后各章节所介绍的观念。本章的讨论只限于线性、静态的结构之问题。
在第一节中我们先定义结构分析的问题：一个实体（body）承受了负载（loads），我们要去求出它所产生的反应（responses）。在这个简洁的定义中我们使用了几个名词：body、loads、及responses，我们将一一分别讨论。结构承受负载后的反应通常可以用变位（displacements）、应变（strains）、及应力（stresses）来表示，这些量之间存在某些关系；我们将在第二节中讨论控制着这些未知量间的方程式。第三节我们将讨论利用有限元素法来解这些控制方程式的基本观念，包括有限元素法的基本构想及形状函数（shape functions）、劲度矩阵（stiffness matrices）等名词及其背后的重要性。
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第2.1节 结构分析问题的定义 Definition of Structural Analysis Problems
2.1.1 结构分析问题
很多的工程分析问题都可以定义成在一个区域（domain）中，承受某些的负载（loads），而我们想要知道这个domain的反应（response）。所谓domain可能是一固体、流体、或只是一个空间，但在结构分析问题上，domain是指一个固态的实体（solid body）。结构分析是一个固态的实体（body）承受负载（loads）后（如图2-1所示），求解结构反应（responses）的过程。
图2-1 结构分析问题定义
图2-1中我们画了一个body，并有四个常见的负载加在这个body上。第一个load是作用在边界S1上的均布载重F1；第二个load是作用在边界S2上的集中载重F2；第三个load是作用在边界S3上的拘束（变位为0）；第四个load是作用在边界S4上的已知变位。结构分析的目是去求解在这样的loads下所产生的结构的反应。我们所举的四个负载都是作用在边界上，所以又可以称为「边界条件」（boundary conditions）。但是负载并不一定全部都作用在边界上，譬如重力可以均匀作用在body内部，这种情形我们通常不称之为边界条件，而以「负载」统称
第2.1节 结构分析问题定义 15
这些分布在边界上及物体内的条件。
负载种类我们将在2.1.3小节进一步介绍，而要怎么去完整的描述结构的反应，我们将在2.1.4至2.1.7小节讨论。在2.1.2小节中我们仅以两个简单的例子来说明图2-1的意义。
2.1.2 结构分析实例
图2-2的例子中的body是一根梁，这根梁承受三个负载：一是集中载重P；二是均布载Q；三是梁左端的一个拘束（变位为0）。我们想知道在这些负载下，结构的反应是怎样子的。图2-3的例子是一个根梁承受了两个负载：一是右端的已知变位D，二是左端的固定拘束。我们想要知道在这样的情形下，它的反应会是怎样子的。
图2-2 结构分析实例：悬臂梁承受集中载重P及均布载Q
P Q D
图2-3 结构分析实例：悬臂梁承受变位D
2.1.3 负载
为了有效地将负载作用在body中，我们有必要对loads去作一个很清楚的分类。前面所举的一些loads例子，都是作用在body表面上的，所以我们可以先将
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负载分为两大类：作用在物体表面及作用在物体内部的loads。图2-4列出ANSYS中所考虑的结构物负载。作用在物体表面的loads包括了力及变位；力又可分为集中力（SI单位N）及分布力（SI单位N/m2）；变位则又可分为零变位及非零变位。以上这些负载应该都是很容易理解的。
作用在body内部的loads，最常看到的是热负载，在ANSYS中是以温度变化量（℃）描述于整个body中（而非只有表面）。惯性力（如重力、离心力等，SI单位N/m3）也是常见的分布于整个body的力。其它还有静电力、磁力等也是分布在body的力。
负载 表面分布力 力 作用在物体表面 变位 零变位（固定） 非零变位 力 作用在物体内部 热 图2-4 结构负载的分类
惯性力（重力、离心力） 其它体积分布力（电力、磁力） 温度变化 点集中力 2.1.4 反应
我们通常用变位、应变、应力来表示一个body承受loads后的结构反应。图2-5列出本书所用的变位、应变、应力的符号及它们分量的个数。注意，在3D的结构分析中，我们总共使用了15个分量来描述结构反应，而每一个分量都是位置的函数。事实上，这些量之间并非是完全独立的，我们将在2.2节讨论它们之间的关系。
为什么我们要用变位、应变、应力来描述结构反应呢？变位是指每一直点的位移，它代表结构的变形；所以描述结构反应时，变位是不可或缺的。但是应力、应变的重要性又是如何呢？一个材料它能够承受的应力、应变都是有一限度的；
第2.1节 结构分析问题定义 17
应力、应变超过某一程度，就会破坏掉（fracture）或降伏掉（yield），所以它们通常作为结构设计是否实用的重要检验基准。
结构反应 变位（displacements） 应变（strains） 应力（stresses）
符号 {u} {?} {?} 分量数目 3 6 6 图2-5 结构负载的分类
在本书中，我们用 {u} 来代表变位、用 {?} 来代表应变、用 {?} 来代表应力。我们会在以下的三个小节里分别来讨论这些量。注意，这三个量都不是单一的量，所以我们用向量来表示它们。在3D的结构系统里面，变位有3个分量，应变及应力各有六个分量，一共有15个分量。我们把这15个量当做是我们要去求解的未知量，只要知道了这15个量，就能清楚的来描述结构反应。注意，去选用多少的未知量是任意的，只要我们建立出等量的方程式，就可以去解出未知量。
2.1.5 变位
图2-6 变位
变位应该是很容易了解的。在图2-6中，我们画了变形前及变形后的body；假设某一个特定的质点（x, y, z）在变形后移到了一个新的位置，我们把它的位移用一