高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结

1. 均值不等式法

n(n?1)(n?1)2?Sn?. 例1 设Sn?1?2?2?3???n(n?1).求证

22例2 已知函数

f(x)?11?a?2bx12n?1,若f(1)?4,且f(x)在[0,1]上的最小值为1,求证:

25f(1)?f(2)???f(n)?n?例3 求证C1n2n3n1?. 2n?12?C?C???C?n?222?an?1,x12?x2?nn(n?1,n?N).

22例4 已知a1?a2?2?xn?1,求证:a1x1?a2x2???anxn≤1.

2.利用有用结论

例5 求证(1?1)(1?111)(1?)?(1?)?2n?1. 352n?1例6 已知函数

求证:

1?2x?3x???(n?1)x?a?nxf(x)?lg,0?a?1,给定n?N?,n?2.

nf(2x)?2f(x)(x?0)对任意n?N?且n?2恒成立。 ?1,an?1?(1?11)a?. nn2?n2n例7 已知a1(I)用数学归纳法证明an?2(n?2);

(II)对ln(1?x)?x对x?0都成立,证明an?e2(无理数e?2.71828例8 已知不等式

11??23?11?[log2n],n?N?,n?2。[log2n]表示不超过log2n的最大整数。设正数数列n2{an}满足:a1?b(b?0),an?再如:设函数

nan?12b,n?2.求证an?,n?3.

n?an?12?b[log2n]f(x)?ex?x。

(Ⅰ)求函数

f(x)最小值;(Ⅱ)求证:对于任意n?N?,有

kne()?. ?e?1k?1n

n例9 设an

1?(1?)n,求证:数列{an}单调递增且an?4.

n3. 部分放缩

11例10 设an?1?a?a?32例11 设数列

?1,a?2,求证:an?2. an?an?满足an?1?an2?nan?1?n?N??,当a1?3时证明对所有n?1, 有:

(i)an?n?2; (ii)1?1?a1111????.

1?a21?an24 . 添减项放缩

2n8()?例12 设n?1,n?N,求证. 3(n?1)(n?2)例13 设数列{a}满足a1?2,an?1?an?n1(n?1,2,?). 证明an?2n?1an5 利用单调性放缩: 构造函数

对一切正整数n成立;

111132x?[,]f(x)?. 例14 已知函数f(x)?ax?x的最大值不大于,又当时

42862 (Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)设0?a1?11. ,an?1?f(an),n?N?,证明an?n?122?a??,n?N. ?xn?例15 数列

?xn?由下列条件确定:x1?a?0,xn?1?1???xn??2总有xn(I) 证明:对n

?a;(II) 证明:对n?2总有xn?xn?1

6 . 换元放缩

例16 求证1?nn?1?2(n?N?,n?2). n?1nn2(a?1)2例17 设a?1,n?2,n?N,求证a?4

.

7 转化为加强命题放缩

例18 设0?a?1,定义a1?1?a,an?11??a,求证:对一切正整数n有an?1. an2xn1例19 数列?xn?满足x1?,xn?1?xn?2.证明x2001?1001.

2n 例20 已知数列{an}满足:a1=

32,且an=

3nan-1(n?2,n?N?)

2an-1+n-1(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对一切正整数n有a1?a2?……an?2?n!

8. 分项讨论

例21 已知数列{an}的前

(Ⅰ)写出数列

n项和

Sn满足Sn?2an?(?1)n,n?1.

{an}的前3项a1,a2,a3; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅲ)证明:对任意的整数

9. 借助数学归纳法

例22(Ⅰ)设函数

(Ⅱ)设正数

m?4,有

1117?????. a4a5am8f(x)?xlog2x?(1?x)log2(1?x) (0?x?1),求f(x)的最小值; p1,p2,p3,?,p2n满足p1?p2?p3???p2n?1,求证:

p1log2p1?p2log2p2?p3log2p3???p2nlog2p2n??n

10. 构造辅助函数法

例23 已知

f(x)= 3?4x?2xln2,数列?an?满足?1?a1?0, 21?a2n?1?f?an? n?N*

??(1)求

1?1?0?上的最大值和最小值; (2)证明:??an?0; f(x)在??,2?2??(3)判断an与an?1(n?N例24 已知数列{an}的首项a1)的大小,并说明理由.

?3an3,an?1?,n?1,2,2an?15.

(Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的x?0,an≥1?1?x1?2?,2,; ?x?,n?12?n(1?x)?3?(Ⅲ)证明:a1?a22

?n2?an?.

n?1*

例25 已知函数f(x)=x-1(x>0),设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N). (Ⅰ) 用xn表示xn+1; (Ⅱ)求使不等式xn?1?xn对一切正整数n都成立的充要条件,并说明理由;

1112n?1(Ⅲ)若x=2,求证:?????.

1?x11?x21?xn31

例1 解析 此数列的通项为aknn?k(k?1),k?1,2,?,n.?k?k(k?1)?k?k?1?k?1,

221n(n?1)n(n?1)n(n?1)2??k?Sn??(k?),即?Sn???.

22222k?1k?1注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式

ab?a?b,若放成k(k?1)?k?1则2(n?1)(n?3)(n?1)2得Sn??(k?1)?,就放过“度”了! ?22k?1n②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里

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