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§4 数列在日常经济生活中的应用
课后篇巩固探究
A组
1.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,则剩余钢管的根数为( )
A.9 解析:∵200-190=10. 答案:B
2.银行一年定期的年利率为r,三年定期的年利率为q,为吸引长期资金,鼓励储户存三年定期存款,则q的值应略大于( ) A.
C.(1+r)-1
3
B.10 C.19 D.29
<200,而满足<200时,n可取的最大值为19.当n=19时,=190,∴ B.[(1+r)-1] D.r
3
3
解析:设储户存a元,存一年定期并自动转存,三年后的本利和为a(1+r)元.三年定期的本利和为a(1+3q)元.为鼓励储户存三年定期,则a(1+3q)>a(1+r),即q>[(1+r)-1]. 答案:B
3.某运输卡车从材料工地运送电线杆到500 m以外的公路,沿公路一侧每隔50 m埋一根电线杆,又知每次最多只能运3根,要完成运载20根电线杆的任务,最佳方案是使运输卡车运行( ) A.11 700 m C.14 500 m
B.14 600 m D.14 000 m
3
3
解析:由近往远运送,第一次运两根,以后每次运三根,这种运法最佳,由近往远运送,每次来回行走的米数构成一个等差数列,记为{an},则a1=1 100,d=300,n=7,
故S7=7×1 100+答案:D
4.某林厂现在的森林木材存量是1 800万立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年要砍伐固定的木材量为x万立方米,为达到经两次砍伐后木材存量增加50%的目标,则x的值是( ) A.40
B.45
C.50
D.55
解析:经过一次砍伐后,木材存量为1 800(1+25%)-x=2 250-x;
经过两次砍伐后,木材存量为(2 250-x)×(1+25%)-x=2 812.5-2.25x.
×300=14 000.
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由题意应有2 812.5-2.25x=1 800×(1+50%), 解得x=50. 答案:C
5.一个卷筒纸,其内圆直径为4 cm,外圆直径为12 cm,一共卷了60层,若把各层都视为一个同心圆,π取3.14,则这个卷筒纸的长度约为 m(精确到个位). 解析:∵纸的厚度相同,∴各层同心圆直径成等差数列.
∴l=πd1+πd2+…+πd60=60π·
答案:15
=480π=1 507.2(cm)≈15(m).
6.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 kB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后 分,该病毒占据64 MB(1 MB=2 kB).
解析:由题意可得每3分病毒占的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据64 MB时自身复制了n次,即2×2=64×2=2,解得n=15,从而复制的时间为15×3=45(分). 答案:45
7.甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄,甲存5年定期储蓄,年利率为2.88%,乙存一年定期储蓄,年利率为2.25%,并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄,按规定每次计息时,储户须交纳20%作为利息税.若存满五年后两人同时从银行中取出存款,则甲、乙所得利息之差为 元.
解析:由已知甲所得本息和a=10 000+10 000×2.88%×5×80%,而乙实际上年利率在去掉利息税后为×2.25%,故乙所得本息和应为b=10 000×答案:219.01
8.某地区有荒山2 200亩,从2015年开始每年年初在荒山上植树造林,第一年植树100亩,以后每一年比上一年多植树50亩(假定全部成活).则至少需要几年可将荒山全部绿化? 解设第n年植树造林an亩,数列{an}的前n项和为Sn,
则数列{an}为等差数列,其中a1=100,d=50,
,经计算a-b≈219.01(元).
n10
16
10
∴an=100+50×(n-1)=50(n+1), ∴Sn=na1+=25(n2+3n),
要将荒山全部绿化,只要Sn≥2 200, 即25(n+3n)≥2 200,
2
d=100n+×50
∴n2+3n-8×11≥0,得n≥8,
故至少需要8年可将荒山全部绿化. 9.导学号33194026为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,长沙市计划
用若干年更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆,计划以后教育精品学习资源
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电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆. (1)求经过n年,该市被更换的公交车总数S(n);
(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换,求a的最小值.
解(1)设an,bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,依题意知,数列{an}是首项为128,公比为1+50%=的等比数列,数列{bn}是首项为400,公差为a的等差数列.
所以数列{an}的前n项和Sn=
=256,
数列{bn}的前n项和Tn=400n+a.
所以经过n年,该市更换的公交车总数
S(n)=Sn+Tn=256+400n+a.
(2)若用7年的时间完成全部更换, 则S(7)≥10 000, 即256
+400×7+a≥10 000,
即21a≥3 082,所以a≥.
又a∈N+,所以a的最小值为147.
B组
1.通过测量知道,温度每降低6 ℃,某电子元件的电子数目就减少一半.已知在零下34 ℃时,该电子元件的电子数目为3个,则在室温27 ℃时,该元件的电子数目接近 ( A.860个
B.1 730个 C.3 072个 D.3 900个
解析:由题设知,该元件的电子数目变化为等比数列,且a1=3,q=2,由27-(-34)=61,=10,可得
a11=3·210=3 072,故选C.
答案:C
2.现存入银行8万元,年利率为2.50 %,若采用1年期自动转存业务,则5年末的本利和是( )万元. A.8×1.0253
B.8×1.0254
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)