江苏省南通市2019届高三第一次调研测试
数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1． 已知集合U?{1，2，3，4，5}，A?{1，2，4}，则eUA? ▲ ．
【答案】{3，5}．
2． 已知复数z1?1?3i，z2?3?i(i为虚数单位)．在复平面内，z1?z2对应的点在第 ▲ 象限．
【答案】二．
3． 命题：“?x?R，x≤0”的否定是 ▲ ．
【答案】?x?R，|x|?0．
4． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2?8x上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．
【答案】3．
?x≥0，?y≥0， 5． 设实数x，y满足?则z?3x?2y的最大值是 ▲ ． ? ?x?y≤3，? ?2x?y≤4，开始 输入x 【答案】7．
6． 如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的
值是 ▲ ．
【答案】?3．
2 7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：
城市 甲 乙 空气质量指数(AQI) 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 109 110 111 111 132 115 118 132 110 112 y?1x?1 2x?yN |y?x|?1Y 输出y 结束 （第6题）
则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）．
【答案】乙．
8． 已知正三棱锥的侧棱长为1，底面正三角形的边长为2．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ． 【答案】2．
59． 将函数f(x)?sin?2x????0?????的图象上所有点向右平移?个单位后得到的图象关于原点对
?·1·
称，则?等于 ▲ ． 【答案】?．
?114
10．等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn．若log3［an(S4m+1)］=9，则+的最小值
2nm
是 ▲ ． 【答案】5．
2 sin??，b??cos?， sin??，且a?b≤2a?b，则cos(???)的值是 ▲ ． 11．若向量a??cos?，【答案】1．
12．在平面直角坐标系xOy中，直线y?x?b是曲线y?alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小
值是 ▲ ． 【答案】?1．
13．已知集合M={(x,y)|x?3≤y≤x?1}，N={P|PA≥2PB,A(?1,0),B(1,0)}，则表示M∩N的图
形面积等于 ▲ ． 【答案】4??23．
314．若函数f(x)?ax2?20x?14(a?0)对任意实数t，在闭区间[t?1， t?1]上总存在两实数x1、x2，
使得|f(x1)?f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为 ▲ ．
【答案】8．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证．．．．．．．明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB//CD，AB1?BC，且AA1?AB． （1）求证：AB∥平面D1DCC1；
（2）求证：AB1⊥平面A1BC．
（1）证明：在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB//CD，
AB?平面D1DCC1， CD?平面D1DCC1，
D1 A1 B1 C1
D
A
B
（第15题）
C
所以AB//平面D1DCC1． ……………………………………………………………………6分
·2·
（2）证明：在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，四边形A1ABB1为平行四边形，又AA1?AB，
故四边形A1ABB1为菱形．
从而AB1?A1B．…………………………………………………………………………… 9分 又AB1?BC，而A1B BC?平面A1BC， BC?B，A1B，所以AB1?平面A1BC． ………………………………………………………………… 14分
16．(本小题满分14分)
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=－3bcosA，tanC=3．
4 （1）求tanB的值；
（2）若c?2，求△ABC的面积．
（1）解：由正弦定理，得 sinC??3sinBcosA，………………………………………………2分
即sin(A?B)??3sinBcosA． 所以sinAcosB?cosAsinB??3sinBcosA． 从而sinAcosB??4sinBcosA．
因为cosAcosB?0，所以tanA??4．……………………………………………………4分
tanBB?3， 又tanC??tan(A?B)?tanA?tanB，由（1）知，3tan2tanAtanB?14tanB?14解得tanB?1．………………………………………………………………………………6分
2（2）解：由（1），得 sinA?2，sinB?1，sinC?3． ………………………………10分
5552?25?45由正弦定理，得a?csinA?．……………………………………………12分
sinC335所以△ABC的面积为1acsinB?1?45?2?1?4． ………………………………14分
2235317．(本小题满分14分)
a3
已知a为实常数，y=f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x－2+1．
x（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若f(x)≥a－1对一切x＞0成立，求a的取值范围．
（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在区间(－∞，0)的单调性即可．
2a3
f ′(x)＝2＋3，令f ′(x)＝0，得x＝－a． …………………………………………………2分
x①当a≤0时，f ′(x)＞0，故f(x)在区间(－∞，0)是单调递增． ……………………… 4分
·3·