三角函数与解三角形
热点一 解三角形
高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合应用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.
【例1】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cos Acos C(tan Atan C－1)＝1. (1)求B的大小；
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(2)若a＋c＝2，b＝3，求△ABC的面积. 【解析】(1)由2cos Acos C(tan Atan C－1)＝1， 1
得2(sin Asin C－cos Acos C)＝1，即cos(A＋C)＝－2， 1
∴cos B＝－cos(A＋C)＝2， π
又0 a2＋c2－b21 (2)由余弦定理得cos B＝＝2， 2ac （a＋c）2－2ac－b2133∴＝，又a＋c＝2ac22，b＝3， 275∴4－2ac－3＝ac，即ac＝4， 115353 ∴S△ABC＝2acsin B＝2×4×2＝16. 33 【变式1】若本题第(2)问条件变为“若b＝3，S△ABC＝2”，试求a＋c的值. 133【解析】由已知S△ABC＝2acsin B＝2， 1333 ∴2ac×2＝2，则ac＝6. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac， 所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝21，所以a＋c＝21. 【变式2】在本例条件下，若b＝3，求△ABC面积的最大值. 【解析】由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac， 则3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，所以ac≤3(当且仅当a＝c＝3时取等号). π3311 所以S△ABC＝2acsin B≤2×3×sin3＝4. 33 故△ABC面积的最大值为4. 【类题通法】利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤 第一步：找条件：寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向. 第二步：定工具：根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化. 第三步：求结果：根据前两步分析，代入求值得出结果. 第四步：再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性. 【对点训练】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2. (1)求cos B； (2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b. B 【解析】(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2 2， 即sin B＝4(1－cos B)， 故17cos2B－32cos B＋15＝0， 15 解得cos B＝17或cos B＝1(舍去)． 158 (2)由cos B＝17，得sin B＝17， 14 故S△ABC＝2acsin B＝17ac. 2B 17 又S△ABC＝2，则ac＝2. 由余弦定理及a＋c＝6得 15?17? b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2×2×?1＋17?＝4. ??所以b＝2. 热点二 三角函数的图象和性质 注意对基本三角函数y＝sin x，y＝cos x的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解. 【例2】已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x－1. (1)求函数f(x)的最小正周期； ?ππ?(2)求函数f(x)在区间?－4，4?上的最大值和最小值． ?? 【解析】(1)∵f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x－1＝2sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2xπ?? ＝2sin?2x＋4?， ?? 2π ∴函数f(x)的最小正周期T＝2＝π. π?? (2)由(1)可知，f(x)＝2sin?2x＋4?. ???ππ?∵x∈?－4，4?， ??π?π3π?∴2x＋4∈?－4，4?， ??π??2?? ∴sin?2x＋4?∈?－，1?. ???2? ?ππ?故函数f(x)在区间?－4，4?上的最大值和最小值分别为2，－1. ??【类题通法】解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；