课时跟踪练(五十二)
A组 基础巩固
x2y2
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
94A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，又(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆相交．
答案：A
x2y2
2．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，
ab弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是( )
1A. 2
2B. 2
3C. 2
5D. 5
解析：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，b2b21
由点差法可知yM＝－2xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得2＝，e＝
aka43
＝， 2
故选C. 答案：C
x22
3．(2019·吕梁模拟)设F1，F2分别是椭圆＋y＝1的左、右焦点，若
4→→→
椭圆上存在一点P，使得(OP＋OF2)·PF2＝0(O为坐标原点，则△F1PF2的面积是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
?b?2
1－?a???
→→→→→→→→
解析：因为(OP＋OF2)·PF2＝(OP＋F1O)·PF2＝F1P·PF2＝0，所以PF1
⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m＋n＝12，1
2mn＝4，所以S△F1PF2＝mn＝1.故选D.
2
答案：D
4．若直线ax＋by－3＝0与圆x2＋y2＝3没有公共点，设点P的坐标为x2y2
(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆＋＝1的公共点的个数为( )
43
A．0
B．1
C．2
D．1或2
22
3
解析：由题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by－3＝0的距离为22 >3，a＋b所以a2＋b2<3.又a，b不同时为零，所以0 b)在椭圆内部，所以过点P的一条直线与椭圆＋＝1的公共点有2个．故 43选C. 答案：C x22 5．斜率为1的直线l与椭圆＋y＝1相交于A，B两点，则|AB|的最 4大值为( ) A．2 45B. 5 410C. 5 810D. 5 x2252 解析：设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y＝1，消去y得x＋2tx＋ 44t2－1＝0，由题意知Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0，即t2<5，|AB|＝42 （1＋1）[（x1＋x2）－4x1x2]＝ 5 2410 5－t≤(当且仅当t＝0时取等 5 2号)．故选C. 答案：C y2x2 6．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且垂直于 ab 长轴的弦长为1，则椭圆方程为________． y2x2 解析：因为椭圆2＋2＝1的右顶点为A(1，0)，所以b＝1，焦点坐标 ab2b2 为(0，c)，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以＝1，a＝2，所以椭 ay2 圆方程为＋x2＝1. 4 y2 答案：＋x2＝1 4 x2y2 7．(2019·赣南五校联考)椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 abF1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆E的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________． 解析：由已知得直线y＝3(x＋c)过M、F1两点，所以直线MF1的斜率为3，所以∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，则MF1＝c，cMF2＝3c，由点M在椭圆E上知，c＋3c＝2a，故e＝＝3－1. a 答案：3－1 x2y2 8．已知直线l过点P(2，1)且与椭圆＋＝1交于A，B两点，当P为 94AB中点时，直线AB的方程为________． 2 x2y11解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B两点在椭圆上，所以＋＝ 94 1，① x2y222＋＝1，② 94①－②得，