机器人动力学研究的典型方法和应用
（燕山大学 机械工程学院）
摘 要：本文介绍了动力学分析的基础知识，总结了机器人动力学分析过程中比较常用的动力学分析的方法：牛顿—欧拉法、拉格朗日法、凯恩法、虚功原理法、微分几何原理法、旋量对偶数法、高斯方法等，并且介绍了各个方法的特点。并通过对PTl300型码垛机器人弹簧平衡机构动力学方法研究，详细分析了各个研究方法的优越性和方法的选择。
前 言：机器人动力学的目的是多方面的。机器人动力学主要是研究机器人机构的动力学。机器人机构包括机械结构和驱动装置，它是机器人的本体，也是机器人实现各种功能运动和操作任务的执行机构，同时也是机器人系统中被控制的对象。目前用计算机辅助方法建立和求解机器人机构的动力学模型是研究机器人动力学的主要方法。动力学研究的主要途径是建立和求解机器人的动力学模型。所谓动力学模指的是一组动力学方程（运动微分方程），把这样的模型作为研究力学和模拟运动的有效工具。
报告正文：
（1）机器人动力学研究的方法
1）牛顿—欧拉法
应用牛顿—欧拉法来建立机器人机构的动力学方程，是指对质心的运动和转动分别用牛顿方程和欧拉方程。把机器人每个连杆（或称构件）看做一个刚体。如果已知连杆的表征质量分布和质心位置的惯量张量，那么，为了使连杆运动，必须使其加速或减速，这时所需的力和力矩是期望加速度和连杆质量及其分布的函数。牛顿—欧拉方程就表明力、力矩、惯性和加速度之间的相互关系。
若刚体的质量为m，为使质心得到加速度a所必须的作用在质心的力为F，则按牛顿方程有：F?ma
???的转动，为使刚体得到角速度?、角加速度?必须在刚体上作用一力矩M，则按欧拉方程有：
M?I??I?
式中，F、a、M、?、?都是三维矢量；I为刚体相对于原点通过质心并与刚
体固结的刚体指标系的惯性张量。
牛顿—欧拉方程法是利用牛顿定律和欧拉方程建立动力学模型的方法。此法物理意义清晰，适合进行并联机构的正动力学问题和逆动力学问题。但此法需要考虑每个关节的约束反力，建模过程比较繁琐。
2）拉格朗日法
机器人动力学分析过程中采用拉格朗日方程法一般为二阶拉格朗日方程，是一种比较适合计算机计算方法。拉格朗日函数L被定义为系统的动能Ek和位能Ep之差，即：L=Ek-Ep
系统动力学方程式，及拉格朗日方程日下：
式中，表示动能和位能的坐标，为相应的速度，而为作用在第i个坐标上的力或是力矩。是力或是力矩，由为直线坐标或角坐标所决定。这些力、力矩和坐标称作广义力、广义力矩和广义坐标，n为连杆数目。 拉格朗日法是基于能量平衡原理的建模方法。该方法通过求系统的动能和势能，建立拉格朗日函数，最终可以得到标准的拉格朗日方程。在求解过程中，避免了运动学加速度和角加速度的求解，推导过程相对简单。利用矩阵表示动力学模型，便于对机器人进行动力学控制。但是建模过程过于复杂，运算量较大一般在进行动力学分析时，常将机器人简化或忽略惯性影响，已达到简化模型提高运算效率的目的。 3）凯恩法
凯恩法是用达郎倍尔原理及虚位移原理建立动力学方程，它是建立机器人机构动力学模型的一种普遍方法，其基本思想是以广义速率代替广义坐标作为系统的独立变量。
凯恩动力学方程为：
?（r）?0 ，r=1,2，?，n F（r）F?意为广义动力与广义惯性力之和等于零。
凯恩方程法在动力学建模中的突出优点是只需要计算矢量点积、叉积运算，避免了求导运算。因此计算效率高，便于计算机控制。 4）虚功原理法
虚功原理法是利用虚功原理建立动力学模型的方法，该方法避免了对关节力的计算，具有较高的运算效率。
除了以上方法外，还有高斯法、微分几何原理法、旋量对偶数法等。
（2）机器人动力学的应用
研究机器人动力学模型主要应用于机器人的设计和离线编程。在设计中需根据
连杆质量、运动学和动力学参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算实际方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型的仿真。
动力学研究物体的运动和受力之间的关系。机器人动力学有两个问题需要解决：动力学正问题，即根据关节驱动力矩或者力计算操作臂的运动（关节位移、速度和加速度）；动力学逆问题，即已知轨迹运动对应的关节位移、速度和加速度，求出所需要的关节力矩或者力。
例：基于动力学的PTl300型码垛机器人弹簧平衡机构设计
1、机构介绍
PTl300型码垛机器人虚拟样机如图1所示。PTl300型码垛机器人的基本结构由底座、主臂、前臂、前臂驱动臂、前臂驱动连杆、水平保持连杆、水平保持三角臂、末端手腕支架及平衡弹簧缸组成。各关节依次称之为腰关节、肩关节、肘关节以及腕关节。平衡弹簧缸一端固定
在距底座一定高度处，另一端固定在主臂顶端，主臂倾动时，平衡弹簧缸(即平衡弹簧)由于被拉伸而在肩关节产生转矩，以此达到平衡主臂关节驱动力矩的目的。
2计问题描述
PT1300型码垛机器人主臂弹簧平衡机构如图2所示。PTl300型码垛机器人主臂弹簧平衡机构的平衡弹簧缸一