习题5-1
1? 利用定积分定义计算由抛物线y?x2?1? 两直线x?a、x?b(b?a)及横轴所围成的图形的面积?
解 第一步? 在区间[a? b]内插入n?1个分点xi?a?b?ai(i?1?
n2? ???? n?1)? 把区间[a? b]分成n个长度相等的小区间? 各个小区间的长度为? ?xi?b?a(i?1? 2? ???? n)?
n 第二步? 在第i个小区间[xi?1? xi] (i?1? 2? ???? n)上取右端点?i?xi?a?b?ai? 作和
nnn Sn??f(?i)?xi??[(a?b?ai)2?1]?b?a
nni?1i?1n(b?a)22b?a22a(b?a)[a?i?i?1] ??2ni?1nn(b?a)22a(b?a)n(n?1)(b?a)2n(n?1)(2n?1) ?[na?????n] 2nn2n6)(b?a)2(n?1)(2n?1)2a(b?a)(n?1 ?(b?a)[a???1]? 2n6n 第三步? 令??max{?x1? ?x2? ???? ?xn}?b?a? 取极限得所求面
n积
f(?i)?xi S??f(x)dx?lim??0?ai?1bna(b?a)(n?1)(b?a)2(n?1)(2n?1) ?lim(b?a)[a???1] 2n??n6n ?(b?a)[a2?a(b?a)?1(b?a)2?1]?1(b3?a3)?b?a?
33 2? 利用定积分定义计算下列积分?
2 (1)?xdx(a?b)?
ab 解 取分点为xi?a?b?ai(i?1? 2? ???? n?1)? 则?xi?b?a(i?1? 2?
nn???? n)? 在第i个小区间上取右端点?i?xi?a?b?ai(i?1? 2? ???? n)? 于
n是
b?ai)?b?axdx?lim??x?lim(a? in????an???inni?1i?1bnn(b?a)2n(n?1)122 ?(b?a)lim[a(b?a)?]?(b?a)? 2n??2n22 (2)?exdx?
01 解 取分点为xi?i(i?1? 2? ???? n?1)? 则?xi?1(i?1? 2? ???? n)? 在
nn第i 个小区间上取右端点?i?xi?i(i?1? 2? ???? n)? 于是
nnin12111xen?lim(en?en? ? ? ? ?en) ?edx?lim?n??0nn??ni?1e[1?(e)]e[1?e]1 ?lim?? ?lim11?e?1n??nn??1?enn(1?en) 3? 利用定积分的几何意义??说明下列等式? (1)?2xdx?1?
011n1nn1n 解
?2xdx表示由直线y?2x、x轴及直线x?1所围成的面积?
01显然面积为1? (2)?1?x2dx???
041 解
?101?x2dx表示由曲线y?1?x2、x轴及y轴所围成的四
分之一圆的面积? 即圆x2?y2?1的面积的1?
41 ?1?x2dx?1???12???
044 (3)?sinxdx?0?
??? 解 由于y?sin x为奇函数? 在关于原点的对称区间[??? ?]上
与x轴所夹的面积的代数和为零? 即
????sinxdx?0?
?? (4)?2?cosxdx?2?2cosxdx?
20? 解
?, ?]一段所围表示由曲线y?cos x与x轴上[?cosxdx???2222?成的图形的面积? 因为cos x为偶函数? 所以此图形关于y轴对称? 因此图形面积的一半为?2cosxdx? 即
0?
??22??cosxdx?2?2cosxdx?
0? 4? 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力? 已知闸门上
水的压强p(单位面积上的压力大小)是水深h的函数? 且有p?9?8h (kN/m2)? 若闸门高H?3m? 宽L?2m? 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P?
解 建立坐标系如图? 用分点xi?Hi(i?1? 2? ???? n?1)将区间[0?
nH]分为n分个小区间? 各小区间的长为?xi?H(i?1? 2? ???? n)?
n 在第i个小区间[xi?1? xi]上? 闸门相应部分所受的水压力近似为
?Pi?9?8xiL??xi ? 闸门所受的水压力为
Hi?H 9.8x?L??x?9.8Llim P?limiin???n???nni?1i?1nn ?9.8L?H2limn??n(n?1)?4.8L?H2? 2n