B．e
x2－e
x1x1x1 x2x2C．x2eD．x2e >x1e xxx1xe－1 解析：选C 构造函数f(x)＝e－ln x，则f′(x)＝e－＝，令f′(x)＝0，得 xxxex－1＝0，根据函数y＝ex与y＝的图象可知两函数图象的交点x0∈(0,1)，即f(x)＝ex－ xln x在(0,1)上不是单调函数，无法判断f(x1)与f(x2)的大小，故A，B错；构造函数g(x)exe－ee?x－1?e＝，则g′(x)＝＝，故函数g(x)＝在(0,1)上单调递减，故g(x1)>g(x2)，22 xxxxx1 xxxxx2ex1>x1ex2，故选C. 二、填空题 12x7．设函数f(x)＝x(e－1)－x，则函数f(x)的单调增区间为________． 2 12xxxx解析：因为f(x)＝x(e－1)－x，所以f′(x)＝e－1＋xe－x＝(e－1)(x＋1)．令 2 f′(x)>0，即(ex－1)2(x＋1)>0，解得x∈(－∞，－1)或x∈(0，＋∞)．所以函数f(x) 的单调增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)． 答案：(－∞，－1)和(0，＋∞) 12?1?8．已知函数f(x)＝x＋2ax－ln x，若f(x)在区间?，2?上是增函数，则实数a的取2?3?值范围为________． 11?1??1?解析：由题意知f′(x)＝x＋2a－≥0在?，2?上恒成立，即2a≥－x＋在?，2?上恒 xx?3??3?1?1?1?884?成立．又∵y＝－x＋在?，2?上单调递减，∴?－x＋?max＝，∴2a≥，即a≥. x?x?3?333? ?4?答案：?，＋∞? ?3? 9．已知函数f(x)＝x＋2ax＋1在x＝1处的切线的斜率为1，则实数a＝________，此时函数y＝f(x)在[0,1]上的最小值为________． 122 解析：由题意得f′(x)＝3x＋4ax，则有f′(1)＝331＋4a31＝1，解得a＝－，所2以f(x)＝x－x＋1， 则f′(x)＝3x－2x，当x∈[0,1]时， 22 由f′(x)＝3x－2x>0得 3 2 3 2 3 2 25 22 由f′(x)＝3x－2x<0得0 3 2?2??2?所以函数f(x)在?，1?上单调递增，在?0，?上单调递减，所以函数f(x)在x＝处取3?3??3?23?2??2?3?2?2 得极小值，即为最小值，所以最小值为f??＝??－??＋1＝. 27?3??3??3? 123 答案：－ 227三、解答题 1 10．已知函数f(x)＝ln x＋－1. x(1)求函数f(x)的单调区间； (2)设m∈R，对任意的a∈(－1,1)，总存在x0∈[1，e]，使得不等式ma－f(x0)<0成立，求实数m的取值范围． 解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)， 11x－1 又f′(x)＝－2＝2. xxx令f′(x)>0，得x>1，因此函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)． 令f′(x)<0，得0 ∴f(x)max＝f(e)＝ln e＋－1＝. ee 11 ∴ma<，即ma－<0对于任意的a∈(－1,1)恒成立．∴ ee ?? ?1m3?－1?－≤0，??e m31－≤0， 1 e 解 11得－≤m≤. ee ?11?∴m的取值范围是?－，?. ?ee? 11．设函数f(x)＝ax－－2ln x. (1)若f(x)在x＝2时有极值，求实数a的值和f(x)的单调区间； (2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围． 解：(1)∵f(x)在x＝2时有极值，∴f′(2)＝0， ax 26 a2 又f′(x)＝a＋2－， xxa4∴a＋－1＝0，∴a＝. 45 44222 ∴f′(x)＝＋2－＝2(2x－5x＋2)， 55xx5x1 由f′(x)＝0有x1＝，x2＝2， 2 又x>0，∴x，f′(x)，f(x)关系如下表： x f′(x) f(x) ?0，1? ?2???＋ 1 20 ?1，2? ?2???－ 2 0 (2，＋∞) ＋ ?1??1?∴f(x)的单调递增区间为?0，?和[2，＋∞)，单调递减区间为?，2?. ?2??2? (2)若f(x)在定义域上是增函数， 则f′(x)≥0在x>0时恒成立， a2ax2－2x＋a∵f′(x)＝a＋2－＝， xxx2∴转化为x>0时ax－2x＋a≥0恒成立， 即a≥∵ 2x恒成立， x＋1 2 2 2x21 ＝≤1，当且仅当x＝＝1时等号成立， x＋11xx＋ 2 x∴a≥1.故实数a的取值范围为[1，＋∞)． 12．已知函数f(x)＝e＋ax－a(a∈R且a≠0)． (1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值；并求出此时f(x)在[－2,1]上的最大值； (2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围． 解：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝e＋a， xxf′(0)＝e0＋a＝0，∴a＝－1，∴f′(x)＝ex－1， ∵在(－∞，0)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在(0，＋∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴x＝0时，f(x)取极小值．∴a＝－1符合要求． 易知f(x)在[－2,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， 27 1 且f(－2)＝2＋3，f(1)＝e，f(－2)>f(1)． e1 ∴f(x)在[－2,1]的最大值为2＋3. e(2)f′(x)＝e＋a，由于e>0. ①当a>0时，f′(x)>0，f(x)是增函数． 且当x>1时，f(x)＝e＋a(x－1)>0. 1 当x<0时，取x＝－， xxxa?1??1?则f?－?<1＋a?－－1?＝－a<0， ?a? ?a? ∴函数f(x)存在零点，不满足题意． ②当a<0时，令f′(x)＝e＋a＝0，得x＝ln(－a)． 在(－∞，ln(－a))上f′(x)<0，f(x)单调递减， 在(ln(－a)，＋∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴x＝ln(－a)时，f(x)取最小值． 函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(－a))＝e解得－e 综上所述，所求的实数a的取值范围是(－e0)． 2, 2 ln(－a) x＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)>0， 知能专练（六） 三角函数的图象与性质 一、选择题 1．(20172山东高考)函数y＝3sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( ) A.π 2 2π B. 3 D．2π C．π π??解析：选C ∵y＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin?2x＋?， 6??2π ∴最小正周期T＝＝π. 2 ?π?2．(20172全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos?x＋?，则下列结论错误的是( ) 3?? A．f(x)的一个周期为－2π 8π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 3π C．f(x＋π)的一个零点为x＝ 6 28