人教版2020高中数学 第一章 1.4.2 存在量词 1.4.3 含有一个量词的命题的否定学案 新人教A版选修1-1

1.4 全称量词与存在量词

1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词

1.4.3 含有一个量词的命题的否定

学习目标:1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定.(重点,难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点,易混点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1.全称量词与全称命题

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示. (2)含有全称量词的命题叫做全称命题,通常将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示,那么全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M,p(x).

2.存在量词与特称命题

(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“?”表示.

(2)含有存在量词的命题,叫做特称命题,特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”,可用符号简记为“?x0∈M,p(x0)”.

思考:(1)“一元二次方程ax+2x+1=0有实数解”是特称命题还是全称命题?请改写成相应命题的形式.

(2)“不等式(m+1)x-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题?请改写成相应命题的形式.

[提示] (1)是特称命题,可改写为“存在x0∈R,使ax0+2x0+1=0” (2)是全称命题,可改写成:“?x∈R,(m+1)x-(m-1)x+3(m-1)<0”. 3.含有一个量词的命题的否定

一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论: 全称命题p:?x∈M,p(x),它的否定p:?x0∈M,p(x0); 特称命题p:?x0∈M,p(x0),它的否定p:?x∈M,p(x). 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.

[基础自测]

1.思考辨析

(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题. (2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题.

(3)命题:?x∈R,x-3x+3>0的否定是?x?R,x-3x+3≤0.

2

22

2

2

2

( ) ( ) ( )

1

[答案] (1)√ (2)× (3)×

2.命题p:“存在实数m,使方程x+mx+1=0有实数根”,则“p”形式的命题是( )

A.存在实数m,使方程x+mx+1=0无实根 B.不存在实数m,使方程x+mx+1=0无实根 C.对任意的实数m,方程x+mx+1=0无实根 D.至多有一个实数m,使方程x+mx+1=0有实根 [答案] C

3.下列四个命题中的真命题为( ) 【导学号:97792031】 A.?x0∈Z,1<4x0<3 B.?x0∈Z,5x0+1=0 C.?x∈R,x-1=0 D.?x∈R,x+x+2>0

2

22

2

222

2

?1?72

D [当x∈R时,x+x+2=?x+?+>0,故选D.]

?2?4

[合 作 探 究·攻 重 难]

全称命题和特称命题的概念及真假判断 指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真假. (1)?x∈N,2x+1是奇数; (2)存在一个x0∈R,使

1

=0; x0-1

(3)能被5整除的整数末位数是0; (4)有一个角α,使sin α>1

[解] (1)是全称命题,因为?x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题. (2)是特称命题.因为不存在x0∈R,使

1

=0成立,所以该命题是假命题. x0-1

(3)是全称命题.因为25能被5整除,但末位数不是0,因此该命题是假命题. (4)是特称命题,因为?α∈R,sin α∈[-1,1],所以该命题是假命题. [规律方法] 1.判断命题是全称命题还是特称命题的方法 (1)分析命题中是否含有量词; (2)分析量词是全称量词还是存在量词; (3)若命题中不含量词,要根据命题的意义去判断. 2.全称命题与特称命题真假的判断方法

2

(1)要判定全称命题“?x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题. (2)要判定特称命题“?x0∈M,p(x0)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特称命题就是假命题. [跟踪训练] 1.(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x,使x≤0 C.两个无理数的和必是无理数 1D.存在一个负数x,使>2

2

xB [A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题;B中x=0时,x=0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为3+(-3)=0,所以C是假命题;D中对于任一个负数

2

x,都有<0,所以D是假命题.]

x(2)下列命题中,真命题是( )

【导学号:97792032】

A.?x∈?0,?,sin x+cos x≥2

2??B.?x∈(3,+∞),x>2x+1 C.?x∈R,x+x=-1

2

2

1

?

π?

?π?D.?x∈?,π?,tan x>sin x ?2?

B [(1)对于选项A,

?π?sin x+cos x=2sin?x+?≤2,∴此命题不成立;

4??

对于选项B,x-2x-1=(x-1)-2,当x>3时,(x-1)-2>0,∴此命题成立;

2

1?3?2x+对于选项C,x+x+1=?+>0,∴x+x=-1对任意实数x都不成立,∴此命??2?4

22

2

2

题不成立;

??对于选项D,当x∈?,π?时,tan x<0,sin x>0,命题显然不成立.故选B.] ?2?

3

π

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