1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
学习目标：1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点，难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点，易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示． (2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)．
2．存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“?x0∈M，p(x0)”．
思考：(1)“一元二次方程ax＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
(2)“不等式(m＋1)x－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
[提示] (1)是特称命题，可改写为“存在x0∈R，使ax0＋2x0＋1＝0” (2)是全称命题，可改写成：“?x∈R，(m＋1)x－(m－1)x＋3(m－1)<0”． 3．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定p：?x0∈M，p(x0)； 特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定p：?x∈M，p(x)． 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题． (2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．
(3)命题：?x∈R，x－3x＋3>0的否定是?x?R，x－3x＋3≤0.
2
22
2
2
2
( ) ( ) ( )
1
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．命题p：“存在实数m，使方程x＋mx＋1＝0有实数根”，则“p”形式的命题是( )
A．存在实数m，使方程x＋mx＋1＝0无实根 B．不存在实数m，使方程x＋mx＋1＝0无实根 C．对任意的实数m，方程x＋mx＋1＝0无实根 D．至多有一个实数m，使方程x＋mx＋1＝0有实根 [答案] C
3．下列四个命题中的真命题为( ) 【导学号：97792031】 A．?x0∈Z,1<4x0<3 B．?x0∈Z,5x0＋1＝0 C．?x∈R，x－1＝0 D．?x∈R，x＋x＋2>0
2
22
2
222
2
?1?72
D [当x∈R时，x＋x＋2＝?x＋?＋>0，故选D.]
?2?4
[合 作 探 究·攻 重 难]
全称命题和特称命题的概念及真假判断 指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假． (1)?x∈N,2x＋1是奇数； (2)存在一个x0∈R，使
1
＝0； x0－1
(3)能被5整除的整数末位数是0； (4)有一个角α，使sin α>1
[解] (1)是全称命题，因为?x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使
1
＝0成立，所以该命题是假命题． x0－1
(3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题． (4)是特称命题，因为?α∈R，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题． [规律方法] 1.判断命题是全称命题还是特称命题的方法 (1)分析命题中是否含有量词； (2)分析量词是全称量词还是存在量词； (3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断． 2．全称命题与特称命题真假的判断方法
2
(1)要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题． (2)要判定特称命题“?x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题． [跟踪训练] 1．(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x≤0 C．两个无理数的和必是无理数 1D．存在一个负数x，使>2
2
xB [A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数
2
x，都有<0，所以D是假命题．]
x(2)下列命题中，真命题是( )
【导学号：97792032】
A．?x∈?0，?，sin x＋cos x≥2
2??B．?x∈(3，＋∞)，x>2x＋1 C．?x∈R，x＋x＝－1
2
2
1
?
π?
?π?D．?x∈?，π?，tan x>sin x ?2?
B [(1)对于选项A，
?π?sin x＋cos x＝2sin?x＋?≤2，∴此命题不成立；
4??
对于选项B，x－2x－1＝(x－1)－2，当x>3时，(x－1)－2>0，∴此命题成立；
2
1?3?2x＋对于选项C，x＋x＋1＝?＋>0，∴x＋x＝－1对任意实数x都不成立，∴此命??2?4
22
2
2
题不成立；
??对于选项D，当x∈?，π?时，tan x<0，sin x>0，命题显然不成立．故选B.] ?2?
3
π