生活的色彩就是学习
课时分层训练(四十五) 空间向量及其运算
A组 基础达标
一、选择题
1．在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与
CD的位置关系是( )
A．垂直 C．异面
B．平行 D．相交但不垂直
→→
B [由题意得，AB＝(－3，－3,3)，CD＝(1,1，－1)， →→∴AB＝－3CD， →→
∴AB与CD共线， →→
又AB与CD没有公共点． ∴AB∥CD.]
→
2．(2017·上饶期中)如图7-6-6，三棱锥O-ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设OA＝a，→
OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示NM，则NM＝( )
→→→
图7-6-6
1
A.(－a＋b＋c) 21
B.(a＋b－c) 21
C.(a－b＋c) 21
D.(－a－b＋c) 2
1→→1→1→→1→1→1→1→→→→→
B [NM＝NA＋AM＝(OA－ON)＋AB＝OA－OC＋(OB－OA)＝OA＋OB－OC＝(a＋b－
2222222
c)．]
3．(2017·武汉三中月考)在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为( ) A．(3,0,0)
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B．(0,3,0)
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C．(0,0,3) C [设P(0,0，z)，
则有(1－0)＋(－2－0)＋(1－z) ＝(2－0)＋(2－0)＋(2－z)， 解得z＝3.故选C.]
4．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为( )
【导学号：79140246】
A.C.5π 6π 3
2πB． 3πD．
6
2222
2
2
D．(0,0，－3)
D [∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1， ∴b＝(1,1,2)．
a·b33
∴cos〈a，b〉＝＝＝. |a|·|b|2×62
π
∴a与b的夹角为，故选D.]
6
5．如图7-6-7，在大小为45°的二面角A-EF-D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
图7-6-7
A.3 C．1
→→→→D [∵BD＝BF＋FE＋ED，
→2→2→2→2→→→→→→
∴|BD|＝|BF|＋|FE|＋|ED|＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－2＝3－→
2，故|BD|＝3－2.] 二、填空题
6．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________.
－9 [由题意知c＝xa＋yb，
即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，
B．2 D．3－2
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2x－y＝7，??
所以?x＋2y＝6，
??－3x＋3y＝λ，
解得λ＝－9.]
7．如图7-6-8，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，点M在线段PC上，→→→→点N在线段PD上，且PM＝2MC，PN＝ND，若MN＝xAB＋yAD＋zAP，则x＋y＋z＝________.
图7-6-8
2→→→1→2→－ [MN＝PN－PM＝PD－PC 3231→→2→→＝(AD－AP)－(PA＋AC) 231→1→2→2→→＝AD－AP＋AP－(AB＋AD) 22332→1→1→＝－AB－AD＋AP，
366
2112所以x＋y＋z＝－－＋＝－.]
3663
8．已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________.
x41
(3，－2,2) [因为a∥b，所以＝＝，
－2y－1
解得x＝2，y＝－4，
此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)， 又因为b⊥c，所以b·c＝0，
即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．] 三、解答题
→→
9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC.
→
(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c； (2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.
【导学号：79140247】
→→
[解] (1)∵c∥BC，BC＝(－3,0,4)－(－1,1,2)
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