2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）
理科数学
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置 . 用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型
A 后的方框涂黑 .
. 写在
2、选择题的作答： 每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效
.
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效
.
. 写在试题卷、草
4、选考题的作答： 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑 . 答案写在答题
.
卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效
5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交
.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中
的. 1.设集合
2
,只有一项是符合题目要求
A
x x 3 2
4 3 0 x
（B）
， x 2x 3 0 ,则 A B
3
（A）
3,
3
3,
2
（C） 1,
2
（D）
3
2
,3
2.设 (1 i)x 1 （A）1 3.已知等差数列 （A）100
yi ，其中 x, y 是实数，则 x yi
（B） 2
（C） 3
（D） 2
an 前 9 项的和为 27， a10 8 ，则 a100
（B）99 （C）98 （D）97
4.某公司的班车在 7:00，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达 发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 1
（A）
3
5.已知方程
1 （B）2
2
10 分钟的概率是
2
（C） 3
2
3
（D）
4
4,则 n 的取值范围是
x
2
y
2
1 n
表示双曲线， 且该双曲线两焦点间的距离为
m n 3m
（A）
1,3
（B）
1, 3
（C）
0,3 （D） 0, 3
6.如图 ,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互 直垂的半径 .若该几何体的体积是 （A）17 7.函数 y
（B）18
2
x
28
,则它的表面积是
3
（C） 20 （D） 28
2x e 在
y
2,2 的图像大致为
y
1
（A）
x
2
O
2
（B）
2
1
x
O
2
y 1
x
y 1
（C）
2
O
（D）
2
2
O
2 x
8.若 a （A）
b 1，0 c 1,则
c
c
a b （ B） ab
c c
ba （C） a logb c b log a c （D） log a c logb c
9.执行右面的程序框图 （A） y
,如果输入的 x 0，y 1，n 1,则输出x,y 的值满足
4x （D） y 5x
开始
2x （ B） y 3x （C） y
10.以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点， 交 C 的准线
输入x,y,n 于 D、E 两点 .已知 |AB |= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距
离为
n=n+1
(B)4
(C)6
(D)8
//平面 CB1D1,
否
n-1 x=x+
2
，y=ny
x
2+y2≥36？ 2+y2≥36
(A)2 11.平面
过正方体 ABCD -A1B1C1D1 的顶点 A,
？
是
I 平面 ABCD =m, I 平面 AB B1A1=n ,则 m、n 所成角的正弦 输出x,y
值为
结束
(A)
3
2
(B)
2
2
(C)
3
3
1
(D)
3
12.已知函数 f (x) sin( x+ )(
0，
), x 2
的最大值为
为 f (x) 的零点 , x 为 y f ( x) 图像
4 4
5
的对称轴，且 f (x) 在 ， 单调，则
18 36
（A）11
（B）9
（C）7
（D）5
二、填空题：本大题共3 小题 ,每小题 5 分 13.设向量a=( m,1)，b=(1,2)，且 |a+ b|
2=|a |2+| b|2，则
m= ．
14.
5
3 的系数是 ．（用数字填写答案）
(2x x) 的展开式中， x
．
15.设等比数列an 满足a1+a3=10， a2+a4=5，则 a1a2 ? a n 的最大值为
16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料． 生产一件产品A 需要甲材料 1.5kg， 乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时．生产 一件产品A 的利润为 2100 元，生产一件产品B 的利润为 900 元． 该企业现有甲材料 料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下， 生产产品A、产B的利润之和的最大值为 品三 .解答题：解答应写出文字说明 17.（本小题满分为 12 分）
,证明过程或演算步骤.
150kg，乙材
元．
ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，已知 2cos C(a cos B+b cos A) c.
（ I）求 C；
（ II ）若 c
7 ， ABC 的面积为
3
3
2
，求
ABC 的周长．
18.（本小题满分为 12 分）如图，在以A，B，C，D，E， F 为顶点的五面体中，面 形， AF =2 FD ，
ABEF 为正方
AFD 90 ，且二面角 D -AF -E 与二面角 C-BE-F 都是 60 ．
平面 EFDC ；
（ I）证明：平面 ABEF
D
C
（ II ）求二面角 E-BC- A 的余弦值．
F
19.（本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器 ,该种机器使用三年后即被淘汰 件,在购进机器时 ,可以额外购买这种零件作为备件
.机器有一易损零
,每个 200 元.在机器使用期间 ,如果备件不足再购
,为此搜集并整理了 100 台这种
买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 机器在三年使用期内更换的易损零件数
频数 40
,得下面柱状图：
20
0 8 9 10 11
更换的易损零件数
以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 台机器三年内共需更换的易损零件数 （I）求 X 的分布列； （II ）若要求 P( X
1 台机器更换的易损零件数发生的概率
.
,记 X 表示 2
, n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数
n) 0.5,确定 n 的最小值；
,在
（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据 个？
n 19与 n 20之中选其一 ,应选用哪
20.（本小题满分 12 分）设圆 2
2
x y
2 15 0
x 的圆心为 A,直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重
合，l 交圆 A 于 C,D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. （I）证明 EA
EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；
（II ）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M ,N 两点， 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 .
21.（本小题满分 12 分）已知函数
2
x
f x x
x 2 e a x 1
x2
有两个零点 .
(I) 求 a 的取值范围； (II) 设 x1,x2 是 f 的两个零点 ,证明： x1 2 .