(一) 解三角形
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
?π??π?1．在△ABC中，acos?－A?＝bcos?－B?，则△ABC的形状是( ) ?2??2?
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角或直角三角形
解析：原式可化为asin A＝bsin B，由正弦定理知a＝b，所以a＝b，所以△ABC为等腰三角形．
答案：B
2．在△ABC中，已知a＝2，b＝2，B＝45°，则角A＝( ) A．30°或150° C．60°
B．60°或120° D．30°
2
2
解析：由正弦定理＝得，sin A＝sin B＝ sin Asin Bb21
sin 45°＝，又因为b＞a，故A＝30°. 22答案：D
3．在△ABC中，若a＝A.
5
b，A＝2B，则cos B等于( ) 2
aba5555 B. C. D. 3456
asin A5解析：由正弦定理得＝，所以a＝ b可化为
bsin B2
sin A5
＝. sin B2
sin 2B5
又A＝2B，所以＝，
sin B2所以cos B＝答案：B
5. 4
4．要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A、B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120 m，由此可得河宽为(精确到1 cm)( )
A．170 m B．98 m C．95 m
D．86 m
解析：在△ABC中，AB＝120， ∠CAB＝45°，
∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝120sin 45°
sin 60°
＝406.
设△ABC中，AB边上的高为h，则h即为河宽， 所以h＝BC·sin∠CBA＝406×sin 75°≈95(m)． 答案：C
5．在△ABC中，已知cos Acos B＞sin Asin B，则△ABC是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：由cos Acos B＞sin Asin B，得cos A·cos B－ sin Asin B＝cos (A＋B)＞0，
所以A＋B＜90°，所以C＞90°，C为钝角． 答案：C
6．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于( ) A．25
B.5
C．25或5
D．以上都不对
解析：因为a2
＝b2
＋c2
－2bccos A， 所以5＝15＋c2
－215×c×
32
. 化简得c2
－35 c＋10＝0， 即(c－25)(c－5)＝0， 所以c＝25或c＝5. 答案：C
7．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( A．(2，＋∞)
B．(－∞，0)
)
?1? C.?－，0? ?2?
?1?D.?，＋∞? ?2?
解析：由正弦定理得：
a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m＞0)，
??a＋b ＞c，??m（2k＋1）＞2mk，
?因为即? ???a＋c＞b，?3mk＞m（k＋1），
1所以k＞.
2答案：D
1
8．△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为( )
3A.
929292
B. C. D．92 248
1222
解析：设另一条边为x，则x＝2＋3－2×2×3×，
3所以x＝9，所以x＝3.
122
设cos θ＝，则sin θ＝.
333392
所以2R＝＝＝.
sin θ224
3
答案：B
π
9．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c3＝1，则△ABC的面积等于( )
A.3 23 6
B.3 43 8
2
C.D.
π
解析：由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，故tan B＝2sin A＝2sin ＝3，又B∈(0，
3ππ113
π)，所以B＝，又A＝B＝，则△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×
33222＝3
. 4
答案：B
10．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )