专题六 不等式
一、题之源：课本基础知识
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a (3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c,a＞b,c＞d?a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b,c＞0?ac＞bc, a＞b＞0,c＞d＞0?ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N,n≥1)； nn(6)可开方：a＞b＞0?a＞b(n∈N,n≥2)． 3．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 Ax＋By＋C>0 Ax＋By＋C≥0 不等式组 4.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x,y),叫做二元一次不等式(组)的解,所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集． 5．线性规划的有关概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划意义 由变量x,y组成的不等式(组) 由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于x,y的函数解析式,如z＝x＋2y 关于x,y的一次解析式 满足线性约束条件的解(x,y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 表示区域 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 包括边界直线 各个不等式所表示平面区域的公共部分 问题 a＋b6．基本不等式ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 7．算术平均数与几何平均数 a＋b 设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为ab,基本不等式可叙述为：两个正实数的 2算术平均数不小于它们的几何平均数． 8．利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x＝y时,x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小) p2 (2)如果和x＋y是定值p,那么当且仅当x＝y时,xy有最大值是．(简记：和定积最大) 4二、题之本：思想方法技巧 1.理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质,是解不等式和证明不等式的依据和基础. 2.一般数学结论都有前提,不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前,一定要准确把握前提条件,注意放宽条件和加强条件与其结论的关系,以及条件与结论间的相互联系.如：同向不等式相加,方向不改变；都是正数的同向不等式相乘,方向不改变；异向不等式相减,方向与被减不等式方向相同；都是正数的异向不等式相除,方向与被除不等式方向相同；两个正数的n次(n∈N＋,n＞1)方(开n次方),当这两个正数相等时,它们的幂(方根)相等；而不等的两个正数,它们的幂(方根)不等,较大的正数幂(方根)较大. (1)在应用传递性时,注意等号是否传递下去,如a≤b,b (2)在乘法法则中,要特别注意“乘数c的符号”,例如当c≠0时,有a>b?ac2>bc2；若无c≠0这个条件,a>b?ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时,取“＝”)． 3．不等式中的倒数性质 11 (1)a>b,ab>0?<； ab11 (2)a<0 abab (3)a>b>0,0 cd111 (4)0 bxa 4.判断多个不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质,常见的反例构成方式可从以下几个方面思考： (1)不等式两边都乘以一个代数式时,考察所乘的代数式是正数、负数还是0； (2)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等． 5.不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种,前者一般是证明不等式的理论基础,后者一般是解不等式的理论基础. 6.比较两个实数的大小,有作差法和作商法两种方法.一般多用作差法,注意当这两个数都是正数时,才可以用作商法.作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系. 7.对于实际问题中的不等量关系,还要注意实际问题对各个参变数的限制. 8.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的解集的确定,受二次项系数a的符号及判别式Δ＝b2－4ac的符号制约,且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系,可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象,数形结合求得不等式的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒大于0的条件是a＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0,则a＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时,必须考虑二次项系数为0这一特殊情形. 9.解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时,要注意分母不等于0,转化为不等式f（x）f（x） 组.(注：形如≥0或≤0的不等式称为非严格分式不等式). g（x）g（x） 10.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论,能避免讨论的应设法避免讨论.对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析,必须注意分类不重、不漏、完全、准确. 11.解不等式的过程,实质上是不等式等价转化的过程.因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则. 12.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解,这体现了转化与化归的数学思想. 13.对给定的一元二次不等式,求解的程序框图是：