30．综合与探究
如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，顶点为D． （1）求抛物线的解析式及点D坐标；
（2）在直线l上是否存在一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线，AD，AC于点E，F，G．
①判断线段FP与FG的数量关系，并说明理由
②连接EA，ED，CD，当m为何值时，四边形AEDC的面积最大？最大值为多少？
参考答案
一．选择题
1．解：∵一次函数y＝kx﹣6中，k＜0 ∴直线从左往右下降 又∵常数项﹣6＜0 ∴直线与y轴交于负半轴 ∴直线经过第二、三、四象限 故选：B． 2．解：由图可知：
直线l2过（2，3），（0，﹣1），因此直线l2的函数解析式为：y＝2x﹣1； 直线l1过（2，3），（0，1），因此直线l1的函数解析式为：y＝x+1； 因此所求的二元一次方程组为：
．
故选：A． 3．解：①∵x＝﹣∴﹣b＝2a，
即2a+b＝0，故此选项正确． ②∵图象开口向下，则a＜0，
∵对称轴经过x轴正半轴，则a，b异号， ∴b＞0，
∵图象与y轴交于负半轴，则c＜0， ∴故②abc＞0正确；
③∵图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故此选项正确； ④∵x＝﹣
＝1，可得图象与x轴右侧的交点小于2，
＝1，
∴x＝2时，对应点的y值小于零，即4a+2b+c＜0．故此选项正确； 故选：D．
4．解：∵直线l1：y1＝ax（a≠0）从左往右呈下降趋势，
∴a＜0，故①正确，②错误；
由函数图象可得当x＞0时，y1＜0，故③错误； ∵两函数图象交于P，
∴x＜﹣2时，y1＞y2，故④正确， 故选：C．
5．解：∵y2＝kx+b的图象经过一二四象限， ∴k＜0，b＞0， ∴k﹣1＜0，
∵直线与x的交点为（1，0）， ∴﹣＝1， ∴b＝﹣k
∴函数y＝（k﹣1）x+b的图象经过经过一二四象限， 令y＝0，则x＝﹣
＝
＜1，
∴直线y＝（k﹣1）x+b与x的交点的横坐标小于1， 故选：A．
6．解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0
即b2＞4ac，∴①正确；
抛物线开口向上，a＞0，与y轴的交点在负半轴，则c＜0， 对称轴﹣
＞0，则b＜0，
∴abc＞0，∴②错误；
又∵抛物线对称轴是直线x＝1 即﹣
∵从图象可以看到，当x＝﹣2时，y＞0 ∴4a﹣2b+c＞0
＝1，可得2a+b＝0，∴③正确；
由③可知b＝﹣2a ∴8a+c＞0，∴④正确；
根据抛物线的轴对称性可知，它与x轴的另一个交点应该在3、4之间， ∴当x＝3时，y＜0 ∴9a+3b+c＜0，∴⑤正确． 故选：D．
7．解：当y＝0时，nx﹣5n＝0， 解得：x＝5，
∴直线y＝nx﹣5n与x轴的交点坐标为（5，0）．
观察函数图象可知：当3＜x＜5时，直线y＝x+m在直线y＝nx﹣5n的上方，且两直线均在x轴上方，
∴不等式x+m＞nx﹣5n＞0的解为3＜x＜5， ∴不等式x+m＞nx﹣5n＞0的整数解为4． 故选：B．
8．解：如图，连接DF，
设AE＝x，BF＝y， 则DE2＝62+x2， EF2＝（10﹣x）2+y2， DF2＝（6﹣y）2+102； ∵△DEF为直角三角形， ∴DE2+EF2＝DF2，
即62+x2+（10﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+102， 解得y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣5）2+
，
根据函数关系式可看出A中的函数图象与之对应． 故选：A．
9．解：∵点P为抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点（m为整数）， ∴点P的坐标为（m，m+2）， 又∵点P在正方形OABC内部或边上，
∴当m＝0时，抛物线y＝﹣x2+2，此时抛物线下方（包括边界）的整点最少， 当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝﹣2，
∵正方形OABC的边长为4，把它内部及边上的横、纵坐标均为整数的点称为整点， ∴当m＝0时，抛物线y＝﹣x2+2下方（包括边界）的整点有：（0，2），（0，1），（0，0），（1，0），（1，1），
即当点P在正方形OABC内部或边上时，抛物线下方（包括边界）的整点最少有5个， 故选：B．
10．解：设A（x，0）． ∵正方形ADEF的面积为16， ∴ADEF的边长为4， ∴E（x﹣4，4）， ∵BF＝2AF， ∴BF＝2×4＝8， ∴B（x，12）．
∵点B、E在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上， ∴4（x﹣4）＝12x， 解得x＝﹣2， ∴B（﹣2，12）， ∴k＝﹣2×12＝﹣24， 故选：C．
11．解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，故A正确；