例1：利用计算器，求方程x?2x?1?0的一个近似解（精确到0.1）．
22【解】设f(x)?x?2x?1， 先画出函数图象的简图. (如右图所示) 因为
f(2)??1?0,f(3)?2?0，
2所以在区间(2,3)内，方程x?2x?1?0有一解，记为x1.取2与3的平均数2.5，因为 f(2.5)?0.25?0， 所以 2?x1?2.5.
再取2与2.5的平均数2.25，因为所以 2.25?x1?2.5. 如此继续下去，得
f(2.25)??0.4375?0，
f(2)?0,f(3)?0?x1?(2,3)f(2.25)?0,f(2.5)?0?x1?(2.25,2.5)f(2)?0,f(2.5)?0?x1?(2,2.5)f(2.375)?0,f(2.5)?0?x1?(2.375,2.5)f(2.375)?0,f(2.4375)?0?x1?(2.375,2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的近似
值都为2.4，所以此方程的近似解为
x1?2.4.
利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.
点评:①第一步确定零点所在的大致区间(a,b)，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； ②建议列表样式如下： 零点所在区间 区间中点函数值 区间长度 1 0.5 0.25 0.125 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步． 例2：利用计算器，求方程lgx?3?x的近似解（精确到0.1）． 分析：分别画函数y?lgx和y?3?x 的图象，在两个函坐标就是方程图象可以发现，方
数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横
lgx?3?x的解．由函数y?lgx与y?3?x的
程lgx?3?x有惟一解，记为x1，并且这个解在
区间(2,3)内.
【解】设f(x)?lgx?x?3，利用计算器计算得
因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为
x1?2.6.
思考:发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法． 除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等． 例3：利用计算器，求方程2?x?4的近似解（精确到0.1）． 【解】方程2?x?4 可以化为2?4?x． 分别画函数y?2 与
xxxxy?4?x的图象，由图象可以知道，方程2x?x?4的解在区间(1,2)内，那么对于区间
(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为x?1.4.
追踪训练一
1. 设x0是方程lnx??x?4的解，则x0所在的区间为 （ B ） A．(3,4) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1)
2. 估算方程5x?7x?1?0的正根所在的区间是 （ B ） A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
3．计算器求得方程5x?7x?1?0的负根所在的区间是（ A ）
22
??2,?1?
C．??2.5,?2? D．??3,?2.5?
A．（?1，0） B．
4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到0.1) (1)lg2x??x?1 (2)3?x?4 答案: (1)0.8(2)x1??3.9,x2?1.6
x一、含字母系数的二次函数问题
例4：二次函数f(x)?px?qx?r中实数
2p、q、r满足
pqr???0，其中m?2m?1mm?0，求证：
m（1）pf()?0)；
m?1（2）方程
f(x)?0在(0,1)内恒有解．
分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：
m是区间(0,1) 内的数，且m?1pf(mmm)和（，1）来处理． )?0，这就启发我们把区间(0,1) 划分为(0，
m?1m?1m?1p2m??， 2(m?1)(m?2)【解】（1）
由于f(x)是二次函数,故p?0，又m?0，所以，⑵ 由题意，得f(0)?r, f(1)?p?q?r．
pf(m)?0． m?1m)?0 m?1m若r?0，则f(0)?0，又f()?0,
m?1m所以f(x) 在（0，）内有解．
m?1①当p?0时，由（1）知
f(若r?0，则f(1)?p?q?r?p?(m?1)
?(?prprmm（,1）内有解． ?)?r???0，又f()?0，所以f(x)?0在
m?2mm?2mm?1m?1②当p?0时同理可证．
点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数p?0．若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改．
（2）对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对类显然是比较好．
p分类，然后对r分
追踪训练二
21．若方程2ax?x?1?0在(0,1)内恰有一则实数a的取值范围是 (B )
1,??) B．(1,??) 81C．(??,1) D．[?,1)
8A．[?2.方程x?2x?2k?1?0的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是
21?k?1； 23．已知函数f(x)?2mx?4，在[?2,1]上存在x0，使f(x0)?0，则实数m的取值范围是____m?1或m??2_____________． 4．已知函数⑴试求函数
f?x??x3?x
f?n??1000？若存在，求出n，若不存在，请说明理由．
y?f?x?的零点；
⑵是否存在自然数n，使
答案：（1）函数y?f(x)的零点为x?0；