例8 小明在妹妹的生日晚会上，买回一个边界形状怪异的蛋糕。妹妹指着蛋糕上的一点P，要哥哥过此点将蛋糕切成一人一半，能办到吗？
解 过点P任作一条直线l,将曲线所围图形分为两部分,其面积分别为S1,S2. 若S1?S2,则l即为所求的直线;
若S1?S2,不妨设S1?S2, 此时记?0为l与x轴正向之夹角.下面对此种情形证明之.
以P为旋转中心, 将l按逆时针方向旋转, 显然面积S1与S2连续地依赖于角
?变化, 分别记之为S1(?)与S2(?),如图所示.
设
f(?)?S1(?)?S2(?),
将直线l按逆时针方向旋转?，易知f(?)在[?0,?0??]上连续，且在端点异号：
f(?0)?S1(?0)?S2(?0)?0，
f(?0??)?S1(?0??)?S2(?0??)
?S2(?0)?S1(?0)?0，
故据连续函数的介值定理知，必存在一点??(?0,?0??)，使得
f(?)?0，
即
S1(?)?S2(?)?0,S1(?)?S2(?).
于是过P点作直线，使之与x轴正向的夹角成?，则该直线即为所求.
例9 一盏灯挂在一米见方的书桌正上方。已知受光面上的照度与光线入射角的余弦值成正比，与到光源距离的平方成反比。问此灯应挂在离桌面多高处，才能使
（1）桌子四个角的照明度最大？
（2）桌子四边的中点处的照明度最大？又如果是圆形桌子，灯应挂在多高处才能使圆桌边缘处照明度最大？
解 如图,
设O为桌子中心点，A为桌上任一点，距离中心点O为r，OD?h为灯的高度，则灯到受光点A的距离h2?r2由题设A点的照度为
.
R?h??khcos??h2?r2? ，
其中k为比例常数. 而cos??h?r22，所以,
R?h??k对h求导，得
h?h2?r322.
?113222(r?h)?h??(r?h)?2hk(r2?h2)2?r2?2h2?2R??h??k??， 2(r?h2)3(r2?h2)32322令R??h??0，得h0?最大值点，于是
Rmax?R?h0??rr为驻点. 由问题的实际含义知，h0?肯定是R?h?的222k. 227r当桌子一米见方时 (1) 在四个角处有r?2m，代入可得h?0.5m，即灯应挂在离桌面0.5m处; 212m,代入得h?m处; 24(2) 在四边的中点处有r?进一步, 如果为半径是r的圆桌,则灯应挂在离桌面h?缘的照度最大.
2r处可使圆桌边2例10 某吊车的身高为1.5米，吊臂长15米。现要把一个6米宽、2米高的屋架，水平地吊到6米高的柱子上，问能否吊得上去？
?解 如图所示，设车身高为h，吊臂长为CD?l，与水平线的夹角为??(0,)。
2屋架的宽度为2a，高为b，其下边沿离地面的距离为y，则问题转化为：在a,b,h,l已知的条件下，?为何只时可使y达到最大？
易知使y达到最大值的?应使屋架与吊臂正好相接触F，此时有
h?lsin??atan??b?y,
所以
y(?)?lsin??atan??h?b.
这就是解决问题的数学模型。
由于y?(?)?lcos??asec2?，令y?(?)?0, 得cos3??1/3a，所以有唯一驻点l?a??0?arccos??。由问题的实际含义知, ?0肯定是y(?)的最大值点，于是
?l?ymax?y(?0)?lsin?0?atan?0?h?b?l1?cos2?0?asec2?0?1?h?b?a??l1????l?2/32/3?l??a???a?
?1?h?b?(l2/3?a2/3)3/2?h?b.所以当柱子高度H?ymax时，屋架可以吊得上去；当H?ymax时，不能将屋架吊到柱子上去。
特别地，取h?1.5m,l?15m,a?3m,b?2m，则
ymax?(152/3?32/3)3/2?1.5?2?43/2?1.5?2?7.5(m) 由于ymax?H?6m，所以可以将屋架吊到柱子上去。
例11 某公司专门生产储藏用的容器，合同要求该公司制造一种敞口（即无盖）的长方体容器，容器恰好为Vm3. 如果用作容器四壁的材料为a元/m2，用作容器底面的材料价格为b元/m2，问制造怎样的容器才能使得总费用最省？
解法一 设长方体容器的长、宽、高分别为x,y,z，制造该容器所需材料的总费用为W?f(x,y,z)， 则有
xyz?V,f(x,y,z)?a(2xz?2yz)?bxy.
记
?(x,y,z)?xyz?V,
于是可以建立该问题的数学模型
x?0,y?0,z?0minf(x,y,z)?a(2xz?2yz)?bxy,s.t.?(x,y,z)?0.
运用Lagrange乘子法求解，引入Lagrange函数
L?L(x,y,z,?)?f(x,y,z)???(x,y,z)?a(2xz?2yz)?bxy??(xyz?V),??0.
令
??L??x?2az?by??yz?0,???L?2az?bx??xz?0,??y???L?2ax?2ay??xy?0,??z??L??xyz?V?0.???(1)(2)
(3)(4)由(1)?x?(2)?y得x?y。 代入（4）得
z?VV?2 ； xyx由(1)?x?(3)?z得
bxy?2ayz?0,bx?2az?2aV32aV,x?, 2xb