于是得
x?32aV13113?2ab2V,y?32ab2V,z?2ab2V. bbb2a结果表明，当长方体容器的长与宽相等，即
x?y?132ab2V, b而高为
z?132ab2V 2a时，制造该容器所需材料的总费用最省，其值为
Wmin?f(131132ab2V,32ab2V,2ab2V)bb2a22213?13??a(32ab2V?32ab2V)2ab2V?b?2ab2V?
bb2a?2a??334a2bV2.解法二 x,y,z,W如解法一所设。运用算术几何平均不等式，有
W?f(x,y,z)?2axz?2ayz?bxy?332axz?2ayz?bxy?334a2b(xyz)2?334a2bV2.等号成立当且仅当
2axz?2ayz?bxy,
由此解得
x?y,z?bx, 2abx3?V，解得 代入已知条件xyz?V中， 有2ax?y?13132ab2V,z?2ab2V. b2a此时
Wmin?f(131132ab2V,32ab2V,2ab2V)?334a2bV2. bb2a
4. 线性代数法建模
例12 某种遗传疾病属于常染色体遗传模型。记正常基因为A，不正常基因为，其后代和分别表示正常人、隐性患者和显性患者。为防止出现隐性患者，要求正常人或隐性患者必须与正常人结合，试建立这种遗传模型，并讨论经若干代后，正常人与隐性患者的分布趋势。
解 记an,bn分别表示第n代的遗传中基因型为AA，Aa的后代占后代总数的百分率，且记
x(n)?(an,bn)T,n?0,1,2,?
为第n代遗传的基因型分布，这里
x(0)?(a0,b0)T
表示人的基因型的初始分布，满足a0?b0?1.。 易知此时第n?1代与第n代之间的遗传关系为
后代（第n代）基因型 父亲-母亲（第n-1代）基因型 AA-AA AA-Aa Aa-Aa AA Aa aa 1 1/2 1/4 0 1/2 1/2 0 0 1/4 11对于AA型，有 an?1?an?1??bn?1?an?1?bn?1;
2211对于Aa型，有bn?0?an?1??bn?1?bn?1.
22显然有
an?bn?an?1?bn?1, 由前面的假设， 有
an?bn?a0?b0?1.
因此，第n代遗传的基因分布的数学模型
1?a?a?bn?1,nn?1??2 ??bn?1bn?1.??2记
?11/2?M??, ??01/2?则该数学模型为
x(n)?Mx(n?1),
x(n)?Mnx(0),n?0,1,2,?
它表明历代遗传基因型分布可由初始分布与矩阵M确定。 容易算得
??1nM???0??于是
?an?(n)???x?bn???1???0??1??1n?11?()2???2?, ???1??1n???0()?2??2?n1?1??a?b(1?)1?()n?00n??a??022?, ?????b1?0?b0??()n????n2??2?
注意到a0?b0?1.，于是
1?a?1?b,n??n2b??
1?b?b.n0??2n显然当n??时，有
an?1,bn?0,
即在极限情况下，遗传后代基本上均为正常人AA型。