吉林省德惠市实验中学2014-2015学年必修二第四章单元测试题
(时间：120分钟 总分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( )
A．相离 C．外切
B．相交 D．内切
2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为( )
A．3x－y－5＝0 C．x＋3y－5＝0
B．3x＋y－7＝0 D．x－3y＋1＝0
3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为( )
A．1，－1 C．1
B．2，－2 D．－1
4．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是( )
A．x＋6y－10＝0 C．x－6y＋10＝0
B.6x－2y＋10＝0 D．2x＋6y－10＝0
5．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是( )
A．(－3,3，－1) C．(3，－3，－1)
B．(－3，－3，－1) D．(3,3,1)
6．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝( )
A．5 C．10
B.13 D.10
7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为( )
A.3 C.3或－3
B.2 D.2和－2 8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是( )
A．4 C．2
B．3 D．1
9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是( )
A．2x－y＝0 C．x＋2y－3＝0
B．2x－y－2＝0 D．x－2y＋3＝0
10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为( )
A．9π B．π
C．2π D．由m的值而定
11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 C．(2x－3)2＋4y2＝1
B．(x－3)2＋y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1
12．曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )
5
A．(0，)
1213C．(，]
34
5
B．(，＋∞)
1253D．(，]
124
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上) 13．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离最小值为____________． 14．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是________．
15．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，①关于直线y＝x对称；②关于直线x＋y＝0对称；③其圆心在x轴上，且过原点；④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________． 16．直线x＋2y＝0被曲线x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于__________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．
18．(12分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．
19．(12分)已知圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．
20．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．
21．(12分)已知⊙C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P是圆上动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标．
22．(12分)已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.
(1)求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明曲线C过定点；
(3)若曲线C与x轴相切，求k的值． 答案：
1.解析：将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16.∴两圆的圆心距?0－3?2＋?0－4?2＝5，又r1＋r2＝5，∴两圆外切．答案：C
y＋2x－1
2.解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程得＝，即3x
1＋22－1－y－5＝0.答案：A
|1＋a＋0＋1|
3.解析：圆x2＋y2－2x＝0的圆心C(1,0)，半径为1，依题意得＝1，即|a＋2|＝
?1＋a?2＋1?a＋1?2＋1，平方整理得a＝－1.答案：D 4.解析：∵点M(2，6)在圆x2＋y2＝10上，kOM＝故切线方程为y－6＝－66，∴过点M的切线的斜率为k＝－， 23
6
(x－2)，即2x＋6y－10＝0.答案：D 3
5.解析：点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是(3,3,1)．答案：D
6.解析：依题意得点A(1，－2，－3)，C(－2，－2，－5)．∴|AC|＝?－2－1?2＋?－2＋2?2＋?－5＋3?2＝13.答案：B
111
7.解析：由题意知，圆心O(0,0)到直线y＝kx＋1的距离为，∴＝，∴k＝±3.
21＋k22答案：C
8.解析：两圆的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，
圆心O1(－2,2)，O2(2,5)，半径r1＝1，r2＝4，∴|O1O2|＝?2＋2?2＋?5－2?2＝5，r1＋r2
＝5.∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案：B
9.解析：依题意知，直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案：A
10.解析：∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2.
∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|.依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.∴圆的面积S＝π×12
＝π.答案：B
x1＋3y111.解析：设P(x1，y1)，Q(3,0)，设线段PQ中点M的坐标为(x，y)，则x＝，y＝，∴x1
22＝2x－3，y1＝2y.又点P(x1，y1)在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1.故线段PQ中点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.答案：C 12.解析：如图所示，曲线y＝1＋4－x2
变形为x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，直线y＝k(x－2)＋4过定点(2,4)，当直线l与半圆相切时，|－2k＋4－1|5有＝2，解得k＝.
12k2＋1
353
当直线l过点(－2,1)时，k＝.因此，k的取值范围是 4124 13.解析：圆心(0,0)到直线3x＋4y－25＝0的距离为5，∴所求的最小值为4.答案：4 |1＋1－4| 14.解析：r＝＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 2答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2 15.解析：已知方程配方得，(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)，圆心坐标为(－a，a)，它在直线x＋y＝0上，∴已知圆关于直线x＋y＝0对称．故②正确． 答案：② 16.解析：由x2＋y2－6x－2y－15＝0， 得(x－3)2＋(y－1)2＝25. |3＋2×1| 圆心(3,1)到直线x＋2y＝0的距离d＝＝5.在弦心距、半径、半弦长组成的直 5角三角形中，由勾股定理得，弦长＝2×25－5＝45. 答案：45 yy 17.解：解法1：连接OP，则OP⊥BC，设P(x，y)，当x≠0时，kOP·kAP＝－1，即·＝ xx－4－1， 即x2＋y2－4x＝0① 当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解， ∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)． 1 解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝|OA|＝2，由圆的定义 2知，P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆． 故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内)． 18.解：由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)． 两圆的方程相减得直线AB的方程为 2(m＋1)x－2y－m2－1＝0. ∵A，B两点平分圆N的圆周， ∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)， ∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0， 解得m＝－1. 故圆M的圆心M(－1，－2)．