第七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试(1996年)

第七届“希望杯”全国数学邀请赛

初二第1试

一、选择题:

?a的值相等的是( ) a?b?aaa?aA.;B.;C.;D.; ?a?ba?bb?ab?a2.一个角的补角的一半比这个角的余角的2倍小3?,那么这个角等于( ) A.58?;B.59?;C.60?;D.61?;

3.如图23,AB//CD,AC//DB,AD与BC交于O,AE?BC于E,DF?BC于F,那么图中全等的

1.下列各式中与分式

三角形有( )

A.5对;B.6对;C.7对;D.8对;

19961995199519961995199619961995,b?,c?,d?,则下列不等关系中成立的是( )

1995199619951996A.a?b?c?d;B.c?a?d?b;C.a?d?c?b;D.a?c?d?b;

5.如图24,已知在?ABC中,AB?AC,?BAC和?ACB的平分线相交于D点,?ADC?130?,那么?CAB的大小是( )

A.80?;B.50?;C.40?;D.20?;

4.设a?

6.已知一个三角形中两条边的长分别为a,b,且a?b,那么这个三角形的周长l的取值范围是( ) A.3a?l?3b;B.2(a?b)?l?2a;C.2a?b?l?2b?a;D.3a?b?l?a?2b;

111::?2:3:4,则a:b:c等于( ) abcA.4:3:2;B.6:4:3;C.3:4:2;D.3:4:6;

8.如图25,四边形ABCD是一个梯形,AB//CD,?ABC?90?,AB?9厘米,BC?8厘米,CD?7厘米,M是AD的中点,从M作AD的垂线交BC于N,则BN的长等于( ) A.1厘米;B.1.5厘米;C.2厘米;D.2.5厘米;

9.在一家三口人中,每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60,那么这三个人中最大

7.若

年龄与最小年龄的差是( )

A.28;B.27;C.26;D.25;

xa?如果x?y?c,则x与y中较大的一个是( ) ybababacbcA.;B.;C.;D. ; a?ba?ba?bb?c10.已知x,y,a,b都是正数,且a?b,

二、A组填空题:

1.因式公解:9a?4b?4ab?c?________;

222bca???________;

(a?b)(b?c)(b?c)(c?a)(c?a)(a?b)3223.已知多项式3x?ax?3x?1能被x?1整除,且商式是3x?1,那么a的值是________; 4.关于x的方程(2?3a)x?1的根为负数,则a的取值范围是________;

5.如图26,凸四边形ABCD的四边AB,BC,CD和DA的长分别是3,4,12和13,?ABC?90?,则四边形ABCD的面积S?________;

2.化简分式:

6.如图27,AOB是一条直线,?AOC?60?,OD,OE分别是?AOC和?BOC的平分线,则图中互为补角关系的角共有________对;

227.如果a?b?6,a?b3?72,那么a?b的值是________;

32

a38.如果a?3a?1?0,那么6的值是________;

a?19.如图28,?ABC中,AD平分?BAC,AB?BD?AC,则?B:?C的值是________; 10.如图29,已知DO平分?ADC,BO平分?ABC,且?A?27?,?O?33?,则?C的大小是________;

三、B组填空题:

4xab22??a?b,则的值是________; 2x?4x?2x?22.已知a?b?0且3a?2b?6?ac?4b?8?0,则c的取值范围是________; 3.一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角,这样的多边形的边数最多是________;

4.如图30,在?ABC中,?B?2?C,AD?BC于D,M为BC的中点,AB?10厘米,则MD的长为

1.若________;

5.已知三个质数m,n,p的乘积等于这三个质数的和的5倍,则m2?n2?p2?________;

答案·提示

一、选择题 提示:

∴选C.

2.设该角为x°.

3.在图23中有△ABC≌△DCB,△ACD≌△DBC,△AOB≌△DOC,△AOC≌△DOB,△AOE≌△DOF,△AEC≌△DFB,△AEB≌△DFC,共有7对三角形全等,选C.

∴a>c>d>b,选D.

5.解法1:如图31,连接BD, 则BD也是∠ABC的角平分线.

∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB, ∠ADB=∠ADC=130°.

∴∠BDC=360°-2×130°=100°. ∴∠DCB=∠DBC=40°. ∴∠ABC=∠ACB=80°.

∴∠CAB=180°-2×80°=20°,选D. 解法2:设∠CAB=x°,则∠B=∠ACB

∴∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC.

解得x=20°,∴选D.

6.三角形中两边长为a,b,且a>b,则第三边为C,满足条件a-b<c<a+b, ∴a+b+(a-b)<a+b+c<a+b+(a+b).即 2a<a+b+c<2(a+b),∴选B

8.如图32,连接AN,DN. ∵M为AD中点,MN⊥AD, ∴AN=DN

设BN=x,则CN=8-x, ∵CD2+CN2=AB2+BN2. ∴72+(8-x)2=92+x2. 解得x=2,∴选C.

9.设三个人年龄分别是x,y,z.

①+②+③得2(x+y+z)=168.

∴38-10=28,选A.

10.∵x,y,a,b均为正数,且a<b,∴x,y中较大的数是y.

得x<y.

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