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第1讲 等差数列与等比数列
[考情考向分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列的判定及综合应用也是高考考查的重点，注意基本量及定义的使用，考查分析问题、解决问题的综合能力．
热点一 等差数列、等比数列的运算 1.通项公式
等差数列：an＝a1＋(n－1)d； 等比数列：an＝a1·q2．求和公式 等差数列：Sn＝
n－1
.
n?a1＋an?
2
＝na1＋n?n－1?
d；
2
a1?1－q?a1－anq??＝?q≠1?，
1－q等比数列：Sn＝?1－q??na1?q＝1?.
3．性质 若m＋n＝p＋q，
在等差数列中am＋an＝ap＋aq； 在等比数列中am·an＝ap·aq.
n
例1 (1)(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于( ) A．－12 B．－10 C．10 D．12 答案 B
解析 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，
3×?3－1??2×?2－1?4×?4－1??×d?＝2a1＋得3?3a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3， 222??故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.
(2)(2018·杭州质检)设各项均为正数的等比数列{an}中，若S4＝80，S2＝8，则公比q＝________，a5＝________. 答案 3 162
解析 由题意可得，S4－S2＝qS2，代入得q＝9. ∵等比数列{an}的各项均为正数， ∴q＝3，解得a1＝2，故a5＝162.
思维升华 在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．
跟踪演练1 (1)(2018·浙江省重点中学联考)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 017，S6－2S3＝18，
2
2
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则S2 019等于( )
A．2 016 B．2 019 C．－2 017 D．－2 018 答案 B
解析 在等差数列{an}中，设公差为d. ∵S6－2S3＝18，
∴a4＋a5＋a6－(a1＋a2＋a3)＝9d＝18. ∴d＝2，
2 019×2 018d∴S2 019＝2 019a1＋
2
＝2 019×2 018－2 019×2 017＝2 019，故选B. (2)(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. ①求{an}的通项公式；
②记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m. 解 ①设{an}的公比为q， 由题设得an＝q4
n－1
.
由已知得q＝4q，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)
n－1
2
或an＝2
n－1
(n∈N)．
n*
②若an＝(－2)
n－1
1－?－2?
，则Sn＝.
3
m由Sm＝63得(－2)＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2
n－1
，则Sn＝2－1.
mn由Sm＝63得2＝64，解得m＝6. 综上，m＝6.
热点二 等差数列、等比数列的判定与证明 证明数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法 (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法 ①利用定义，证明an＋1－an(n∈N)为一常数；
②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N)． (2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法 ①利用定义，证明*
*
an＋1*
(n∈N)为一常数； an2
*
②利用等比中项，即证明an＝an－1an＋1(n≥2，n∈N)．
11
例2 已知数列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且满足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2.
22(1)求证：数列{an－bn}为等比数列；
?2?
?的前n项和Tn. (2)求数列?aann＋1??
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1?1?(1)证明 an－bn＝(3an－1－bn－1)－?－?(an－1－3bn－1)＝2(an－1－bn－1)， 2?2?又a1－b1＝3－(－1)＝4，
所以{an－bn}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知，an－bn＝2
n＋1
，①
1?1?又an＋bn＝(3an－1－bn－1)＋?－?(an－1－3bn－1)＝an－1＋bn－1，
2?2?又a1＋b1＝3＋(－1)＝2，
所以{an＋bn}为常数数列，an＋bn＝2，② 联立①②得，an＝2＋1，
211
所以＝n＝n－n＋1， n＋1
anan＋1?2＋1??2＋1?2＋12＋1所以Tn＝?＝
2
nnn?11－21?＋?21－31?＋…＋?n1－n＋1?
1??????2＋12＋1??2＋12＋1??2＋12＋1?
1111*
－n＋1＝－n＋1(n∈N)． 2＋12＋132＋1
1
思维升华 (1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法． (2)an＝an－1an＋1(n≥2)是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零． 1
跟踪演练2 已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与的等差中项．
2
an(1)求证：数列{Sn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式；
?－1?
(3)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.
n2
an12
(1)证明 由题意知2Sn＝an＋，即2Snan－an＝1，(*)
an当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1，代入(*)式得 2Sn(Sn－Sn－1)－(Sn－Sn－1)＝1， 整理得Sn－Sn－1＝1(n≥2)．
又当n＝1时，由(*)式可得a1＝S1＝1， ∴数列{Sn}是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解 由(1)可得Sn＝1＋n－1＝n， ∵数列{an}的各项都为正数，∴Sn＝n， ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－n－1， 又a1＝S1＝1满足上式， ∴an＝n－n－1(n∈N)． ?－1?
(3)解 由(2)得bn＝＝
n*
2
22
2
2
?－1?
nann－n－1