第2课时 切线的判定与性质
1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明．
2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明．
3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．
一、情境导入
约在6000年前，美索不达米亚人做出
了世界上第一个轮子——圆型的木盘，你能
设计一个办法测量这个圆形物体的半径
吗？
二、合作探究
探究点一：切线的判定
【类型一】判定圆的切线 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线
上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，
求证：CD是⊙O的切线．
证明：连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，
∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD＝90°，∴
OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．
方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
探究点二：切线的性质
【类型一】利用切线进行证明和计算
如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直
线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，
连接AO、AB、AC.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(2)若AP＝3，求⊙O的半径．
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切
点，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠
AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB为等边三
角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC为
⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.在△ACB和
△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO.
(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝3，∴AO＝1，∴CB＝OP＝2，∴OB＝1，
即⊙O的半径为1.
【类型二】切线的性质与判定的综合应
用
如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O
上的两点，且︵AF＝︵FC＝︵
CB，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D.
(1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若CD＝23，求⊙O的半径． 分析：(1)连接OC，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得∠ACD＝∠B，再根据等量代换得到∠ACO＋∠ACD＝90°，从而证明CD是⊙O的切线；(2)由︵AF＝︵FC＝︵
CB推得∠DAC＝∠BAC＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB的长，进而求得⊙O的半径．
(1)证明：连接OC，BC.∵︵FC＝︵
CB，∴∠DAC＝∠BAC.∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵BO＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＝∠OBC，∠ACD＝∠ABC，∴∠ACO＋∠ACD＝90°，即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)解：∵︵AF＝︵FC＝︵
CB，∴∠DAC＝∠BAC＝30°.∵CD⊥AF，CD＝23，∴AC＝43.在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝43，∴BC＝4，AB＝8，∴⊙O的半径为4.
【类型三】探究圆的切线的条件 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是︵
BC上的一个动点，过点
P作BC的平行线交AB的延长线于点D.
(1)当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；
(2)当DP为⊙O的切线时，求线段BP的长．
解析：(1)当点P是︵BC的中点时，得PBA︵
＝PCA︵
，得出PA是⊙O的直径，再利用
DP∥BC，得出DP⊥PA，问题得证；
(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出△ABE∽△ADP，即可求出
DP的长．
解：(1)当点P是︵
BC的中点时，DP是⊙O的切线．理由如下：∵AB＝AC，∴︵AB＝︵AC，又∵︵PB＝︵PC，∴PBA︵＝PCA︵
，∴PA是⊙O的直径．∵︵PB＝︵
PC，∴∠1＝∠2，又AB＝AC，∴PA⊥BC.又∵DP∥BC，∴DP⊥PA，∴DP是⊙O的切线．
(2)连接OB，设PA交BC于点E.由垂径定理，
得BE＝1
2BC＝6.在Rt△ABE中，由勾股
定理，得AE＝AB2
－BE2
＝8.设⊙O的半径为r，则OE＝8－r，在Rt△OBE中，由勾股定理，得r2＝62＋(8－r)2
，解得r＝254.在
Rt△ABC中，AP＝2r＝25
2
，AB＝10，∴BP＝
（2512）2－102
＝152. 三、板书设计
教学过程中，强调只要出现切线就要想到半径，就要想到有垂直的关系，要形成一个定势思维.