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圆梦教育中心 集合例题详解
1．已知A＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是( ) A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1?A
【解析】 集合A表示不等式3－3x>0的解集．显然3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式，故选C. 【答案】 C
2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( ) A．{y|y＝2} B．{x＝2} C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}
【解析】 {x＝2}表示的是由一个等式组成的集合．故选B. 【答案】 B
3．下列关系中，正确的个数为________． 1
①2∈R；②2?Q；③|－3|?N*；④|－3|∈Q.
1
【解析】 本题考查常用数集及元素与集合的关系．显然2∈R，①正确；2?Q，②正确； |－3|＝3∈N*，|－3|＝3?Q，③、④不正确． 【答案】 2
4．已知集合A＝{1，x，x2－x}，B＝{1,2，x}，若集合A与集合B相等，求x的值． 【解析】 因为集合A与集合B相等， 所以x2－x＝2.∴x＝2或x＝－1. 当x＝2时，与集合元素的互异性矛盾． 当x＝－1时，符合题意． ∴x＝－1.
一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列命题中正确的( )
①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上语句都不对 【解析】 {0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．故选 圆梦教育中心资料 圆梦教育中心资料 C. 【答案】 C 2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( ) A．{1,1} B．{1} C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0} 【解析】 集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}．故选B. 【答案】 B 3．已知集合A＝{x∈N*|－5≤x≤5}，则必有( ) A．－1∈A B．0∈A C.3∈A D．1∈A 【解析】 ∵x∈N*，－5≤x≤5， ∴x＝1,2， 即A＝{1,2}，∴1∈A.故选D. 【答案】 D 4．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为( ) A．0 B．2 C．3 D．6 【解析】 依题意，A*B＝{0,2,4}，其所有元素之和为6，故选D. 【答案】 D 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知集合A＝{1，a2}，实数a不能取的值的集合是________． 【解析】 由互异性知a2≠1，即a≠±1， 故实数a不能取的值的集合是{1，－1}． 【答案】 {1，－1} 6．已知P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a＝________. 【解析】 用数轴分析可知a＝6时，集合P中恰有3个元素3,4,5. 【答案】 6 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．选择适当的方法表示下列集合集． (1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合； (2)大于2且小于6的有理数； (3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合． 圆梦教育中心资料 圆梦教育中心资料 【解析】 (1)方程的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}，有限集． (2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2 (3)用描述法表示该集合为 M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}或用列举法表示该集合为 {(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}． 8．设A表示集合{a2＋2a－3,2,3}，B表示集合 {2，|a＋3|}，已知5∈A且5?B，求a的值． 【解析】 因为5∈A，所以a2＋2a－3＝5， 解得a＝2或a＝－4. 当a＝2时，|a＋3|＝5，不符合题意，应舍去． 当a＝－4时，|a＋3|＝1，符合题意，所以a＝－4. 9．(10分)已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}． (1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 【解析】 (1)∵A中有两个元素， ∴方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根， ?a≠0，99∴?即a＞－16.∴a＞－16，且a≠0. ?Δ＝9＋16a＞0， 4 (2)当a＝0时，A＝{－3}； 9 当a≠0时，若关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个相等的实数根，Δ＝9＋16a＝0，即a＝－16； 若关于x的方程无实数根，则Δ＝9＋16a＜0， 9 即a＜－16； 9 故所求的a的取值范围是a≤－16或a＝0. 1．设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于( ) 圆梦教育中心资料 圆梦教育中心资料 A．{x|x≥3} B．{x|x≥2} C．{x|2≤x＜3} D．{x|x≥4} 【解析】 B＝{x|x≥3}．画数轴(如下图所示)可知选B. 【答案】 B 2．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝( ) A．{3,5} B．{3,6} C．{3,7} D．{3,9} 【解析】 A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素3,9，∴A∩B＝{3,9}．故选D. 【答案】 D 3．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________． 【解析】 设两项都参加的有x人，则只参加甲项的有(30-x)人，只参加乙项的有(25-x)人．(30-x)+x+(25-x)=50，∴x=5. ∴只参加甲项的有25人，只参加乙项的有20人， ∴仅参加一项的有45人． 【答案】 45 4．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值． 【解析】 ∵A∩B＝{9}， ∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3. 当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}． 此时A∩B＝{－4,9}≠{9}．故a＝5舍去． 当a＝3时，B＝{－2，－2,9}，不符合要求，舍去． 经检验可知a＝－3符合题意． 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( ) A．0 B．1 C．2 D．4 圆梦教育中心资料 圆梦教育中心资料 【解析】 ∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}， ∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4，故选D. 【答案】 D 2．设S＝{x|2x＋1>0}，T＝{x|3x－5<0}，则S∩T＝( ) 1 A．? B．{x|x<－} 2515 C．{x|x>} D．{x|－ 323 1515 【解析】 S＝{x|2x＋1>0}＝{x|x>－}，T＝{x|3x－5<0}＝{x|x<}，则S∩T＝{x|－ 2323【答案】 D 3．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝( ) A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2} C．{x|0 【答案】 A 4．满足M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．故选B. 【答案】 B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________． 【解析】 A＝(－∞，1]，B＝[a，＋∞)，要使A∪B＝R，只需 a≤1. 【答案】 a≤1 6．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是________． 【解析】 由于{1,3}∪A＝{1,3,5}，则A?{1,3,5}，且A中至少有一个元素为5，从而A中其余元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4.它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}． 【答案】 4 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B. 圆梦教育中心资料