2010-2011年
一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1．
设z?xey?ln(x2?y2),则dz(1,0)?
2．设
f(x,y)?x?y?sinxy,则? 0dy? yf(x,x)dx=
1 1?1?cosx,0?x???f(x)????x?x2?1,???x?0?3．设函数以为周期，s(x)为的f(x)的傅里叶级数的和函数，
则s(?3?)? .
4．设曲线为圆周,则曲线积分C二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）
x?y?R222（x?2?y2—3x）ds=
?x?3y?2z?0?1. 设直线为?2x?y?10z?3?0,平面为4x?2y?z?2?0,则 （ ） .
(A) 平行于平面 (B) 在平面上
(C) 垂直于平面 (D) 与相交，但不垂直
???2222?:x?y?z?R2．设有空间区域，则?3．下列级数中，收敛的级数是（）.
x2?y2?z2dv等于 （ ）.
2?44?4RR44?R33(A) (B) (C) (D) 2?R
?nnn?(?1)n(?1)()??n?1 (B) n?1n?1n?1?n (A)
(C)
?ne3n?1??n (D)
?ln(1?n?1?1nnn)
4. 设
?an?1?n是正项级数，则下列结论中错误的是（ ）
n（A） 若
?an?1?n?收敛，则
?an?1?2n也收敛 （B）若
??an?1n?n收敛，则
?aan?1n?n?1也收敛
（C）若收敛，则部分和有界 （D）若收敛，则三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）
n?1n?1?a?alimn??an?1???1an
?2u21．设函数具有二阶连续偏导数，u?f(xy,x?y)，求?x?y.
22z?3xy?x?yy?x?1上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向轴正2．求函数在曲线
向的切线方向的方向导数. 解：
(x?y)dxdy,??3．计算其中D?{(x,y)xD22?y2?4}.
2222z?x?yz?1?1?x?y?x,y,z?处
4.设立体由锥面及半球面围成.已知上任一点
的密度与该点到xoy平面的距离成正比（比例系数为K?0），试求立体的质量.
2xyzdydz?xydxdz?zxdxdy???6. 计算第二类曲面积分
外侧．
222x?y?z?1的，其中为球面
1nx?7．求幂级数n?1n?1的和函数。
?四．证明题（本题4分）
eydxdy????x证明下列不等式成立：De22D?{(x,y)|x?y?1}. ，其中
五．证明题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为xoy坐标面，其底部所占的区
2222D?{(x,y):x?y?xy?75},h(x,y)?75?x?y?xy. 域为小山的高度函数为
（1）设M(x0,y0)为区域上一点，问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为g(x0,y0)，试写出g(x0,y0)的表达式。
（2）现欲利用此小山举行攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在的边界线x?y?xy?75上找使（1）中的g(x,y)达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。
222009-2010年
一、 填空题（每小题5分，满分30分）
?1. 若向量a,b,c两两互相垂直，且
????a?5,b?1和2,c???13，则
a?b?c? .
???z?zy2x?y?z?xysin2?y . x，求?x2．设函数
3. 设函数f(x,y)为连续函数, 改变下列二次积分的积分顺序：
?10dy?2?y2y2f(x,y)dx? .
4. 计算
I??(1,2)(0,0)(ey?x)dx?(xey?2y)dy?? .
n2nx?n5. 幂级数n?13的收敛域为： .
2f(x)??x?x(???x??) 的傅里叶级数为：6. 设函数
a0???(ancosnx?bnsinnx)2n?1，
则其系数 3 .
二、 选择题（每小题5分，满分20分）
b?x?1?y?z?1?21与平面3x?4y-z?2的位置关系是( ) 1．直线3(A) 直线在平面内； (B) 垂直；
(C) 平行； (D) 相交但不垂直?
2.设函数f(x,y)?4(x?y)?x?y, 则f(x,y)（ ）
(A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值；
(C) 在(2,?2)点有极大值； (D) 无极值.
3. 设是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，的方向为逆时针方向，则
22?Lxdy?ydx?x2?y2（ ）
(A) 0； (B) ； (C) ； (D) ?2?.
??sinna1???n2??nn?1??（ ） 4. 设为常数，则级数
(A) 绝对收敛； (B) 发散；
(C) 条件收敛； (D) 敛散性与值有关. 三、计算题 (本大题满分42分)
本页满分14分 本 页得分 ?xy2,(x,y)?(0,0),?f(x,y)??x2?y4?0,(x,y)?(0,0).?1. 设 讨论f(x,y)在原点
(0,0)处是否连续，并求出两个偏导数fx?(0,0)和fy?(0,0). (7分)
2. 计算
I????x2?y2?z2dxdydz,?22z?2?x?y其中是由上半球面和锥面
z?x2?y2所围成的立体 . (7分)
x2?y2被柱面x2?y2?2x所割下部分的曲面面积.
本页满分14分 z?3. 求锥面
（7分）
本 页I?y2zdxdy?z2xdydz?x2ydzdx?4. 计算曲面积分 ，其中 得2222x?y?1,x?0,y?0,z?0 围在第一卦限的分 z?x?y,是由
立体的外侧表面 . （7分）
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