第二章 函数
第一节 函数的概念及其表示
题型10 映射与函数的概念——暂无 题型11 同一函数的判断——暂无 题型12 函数解析式的求法 题型13 函数定义域的求解 题型14 函数值域的求解
第二节 函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性
题型15 函数的奇偶性 题型16 函数的单调性
1.（2017山东理15）若函数exf?x?（e?2.71828是自然对数的底数）在f?x?的定义域上单调递增，则称函数f?x?具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 .
①f?x??2?x
②f?x??3?x
x
③f?x??x3 ④f?x??x2?2
?e?解析 ①y=exf?x??ex?2?x???在R上单调递增，故f?x??2?x具有M性质；
2???e?②y=ef?x??e?3???在R上单调递减，故f?x??3?x不具有M性质；
?3?xx?xx③y=exf?x??ex?x3，令g?x??ex?x3，则g??x??ex?x3?ex?3x2?x2ex?x?3?， 所以当x??3时，g??x??0；当x??3时，g??x??0，所以y=exf?x??ex?x3在
???,?3?上单调递减，在??3,???上单调递增，故f?x??x3不具有M性质；
④y=exf?x??ex?x2?2?.令g?x??ex?x2?2?，
1
2则g??x??exx2?2?ex?2x?ex??x?1??1??0，所以y=exf?x??ex?x2?2?在
????R上单调
递增，故f?x??x2?2具有M性质． 综上所述，具有M性质的函数的序号为①④.
题型17 函数的奇偶性和单调性的综合 1.（17江苏11）已知函数f?x??x3?2x?ex?1， 其中e是自然对数的底数．若exf?a?1??f?2a2??0，则实数a的取值范围是 ．
解析 易知f?x?的定义域为R. 因为f??x????x??2??x??e?x?所以f?x?是奇函数． 又f??x??3x2?2?ex?单调递增．
因为f?a?1??f?2a2??0，所以f?a?1???f?2a2??f??2a2?，于是
1??1??a?1??2a2，即2a2?a?1?0，解得x???1,?．故填??1,?．
2???2?3113x??x?2x?e???f?x?， ?xxee1…3x2…0，且f??x??0不恒成立，所以f?x?在R上xe2.（2017天津理6）已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)?xf(x).若
a?g(?log25.1)，b?g(20.8)，c?g(3)，则a，b，c的大小关系为（ ）.
A.a?b?c B.c?b?a C.b?a?c D.b?c?a
解析 因为奇函数f(x)在R上增函数，所以当x?0时，f(x)?0，从而
g(x)?xf(x)是R上的偶函数，且在(0,??)上是增函
数.a?g??log25.1??g?log25.1?，20.8?2，又4?5.1?8，则2?log25.1?3，所
2
以0?20.8?log25.1?3，于是g?20.8??g?log25.1??g?3?，即b?a?c.故选C.
?1?3.(2017北京理5)已知函数f?x??3x???，则f?x?（ ）.
?3?xA.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数 C.是奇函数，且在R上是减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数
?1??1? 解析 由题知f?x??3x???，f??x??3?x????3??3?xx?x?1所以f?x??3x??f?x?，x3?1?为奇函数.又因为3x是增函数，???也是增函数，所以f?x?在R上是增函数.
?3?故选A.
4.（2017全国1理5）函数f?x?在???,???单调递减，且为奇函数．若f?1???1，则满足?1剟f?x?2?1的x的取值范围是（ ）. A．[?2,2]
B． [?1,1]
C． [0,4]
D． [1,3]
f?x?2?1等价于 解析 因为f?x?为奇函数，所以f??1???f?1??1，于是?1剟f?1?剟f?x?2?f??1?，又f?x?在???，???单调递减，所以?1剟x?21，所以1剟x3.
故选D.
题型18 函数的周期性
1.（2017江苏14）设f?x?是定义在R且周期为1的函数，在区间?0,1?上，
?x2,x?D??n?1．其中集合D??xx?则方程f?x??lgx?0的,n?N*?，f?x???n???x,x?D解的个数是 ．
解析 由题意f?x???0,1?，所以只需要研究x??1,10?内的根的情况． 在此范围内，x?Q且x?D时，设x?q,p,q?N*,p…2，且p,q互质， p 3