2018-2019年高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017年高考数学理科真题汇编解析第二章函数

第二章 函数

第一节 函数的概念及其表示

题型10 映射与函数的概念——暂无 题型11 同一函数的判断——暂无 题型12 函数解析式的求法 题型13 函数定义域的求解 题型14 函数值域的求解

第二节 函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性

题型15 函数的奇偶性 题型16 函数的单调性

1.(2017山东理15)若函数exf?x?(e?2.71828是自然对数的底数)在f?x?的定义域上单调递增,则称函数f?x?具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 .

①f?x??2?x

②f?x??3?x

x

③f?x??x3 ④f?x??x2?2

?e?解析 ①y=exf?x??ex?2?x???在R上单调递增,故f?x??2?x具有M性质;

2???e?②y=ef?x??e?3???在R上单调递减,故f?x??3?x不具有M性质;

?3?xx?xx③y=exf?x??ex?x3,令g?x??ex?x3,则g??x??ex?x3?ex?3x2?x2ex?x?3?, 所以当x??3时,g??x??0;当x??3时,g??x??0,所以y=exf?x??ex?x3在

???,?3?上单调递减,在??3,???上单调递增,故f?x??x3不具有M性质;

④y=exf?x??ex?x2?2?.令g?x??ex?x2?2?,

1

2则g??x??exx2?2?ex?2x?ex??x?1??1??0,所以y=exf?x??ex?x2?2?在

????R上单调

递增,故f?x??x2?2具有M性质. 综上所述,具有M性质的函数的序号为①④.

题型17 函数的奇偶性和单调性的综合 1.(17江苏11)已知函数f?x??x3?2x?ex?1, 其中e是自然对数的底数.若exf?a?1??f?2a2??0,则实数a的取值范围是 .

解析 易知f?x?的定义域为R. 因为f??x????x??2??x??e?x?所以f?x?是奇函数. 又f??x??3x2?2?ex?单调递增.

因为f?a?1??f?2a2??0,所以f?a?1???f?2a2??f??2a2?,于是

1??1??a?1??2a2,即2a2?a?1?0,解得x???1,?.故填??1,?.

2???2?3113x??x?2x?e???f?x?, ?xxee1…3x2…0,且f??x??0不恒成立,所以f?x?在R上xe2.(2017天津理6)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)?xf(x).若

a?g(?log25.1),b?g(20.8),c?g(3),则a,b,c的大小关系为( ).

A.a?b?c B.c?b?a C.b?a?c D.b?c?a

解析 因为奇函数f(x)在R上增函数,所以当x?0时,f(x)?0,从而

g(x)?xf(x)是R上的偶函数,且在(0,??)上是增函

数.a?g??log25.1??g?log25.1?,20.8?2,又4?5.1?8,则2?log25.1?3,所

2

以0?20.8?log25.1?3,于是g?20.8??g?log25.1??g?3?,即b?a?c.故选C.

?1?3.(2017北京理5)已知函数f?x??3x???,则f?x?( ).

?3?xA.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数

?1??1? 解析 由题知f?x??3x???,f??x??3?x????3??3?xx?x?1所以f?x??3x??f?x?,x3?1?为奇函数.又因为3x是增函数,???也是增函数,所以f?x?在R上是增函数.

?3?故选A.

4.(2017全国1理5)函数f?x?在???,???单调递减,且为奇函数.若f?1???1,则满足?1剟f?x?2?1的x的取值范围是( ). A.[?2,2]

B. [?1,1]

C. [0,4]

D. [1,3]

f?x?2?1等价于 解析 因为f?x?为奇函数,所以f??1???f?1??1,于是?1剟f?1?剟f?x?2?f??1?,又f?x?在???,???单调递减,所以?1剟x?21,所以1剟x3.

故选D.

题型18 函数的周期性

1.(2017江苏14)设f?x?是定义在R且周期为1的函数,在区间?0,1?上,

?x2,x?D??n?1.其中集合D??xx?则方程f?x??lgx?0的,n?N*?,f?x???n???x,x?D解的个数是 .

解析 由题意f?x???0,1?,所以只需要研究x??1,10?内的根的情况. 在此范围内,x?Q且x?D时,设x?q,p,q?N*,p…2,且p,q互质, p 3

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