专题四 代数与几何综合问题的基本类型和解题策略
几何与代数综合题一般题量较大、梯度明显，是初中数学中覆盖面最广、综合性最强题型，试题中的综合题大多以代数与几何综合题的形式出现，而且留有自主探究的空间，体现个性的发展和新课程标准的理念，代数与几何的大型综合题分为以下类型：①在几何图形背景下建立函数或方程；②坐标系下的几何图形；③函数图象与几何图形相结合的问题：近几年来中考几何与代数综合题主要以压轴题形式出现，涉及到的有关开放性探索问题、动点问题、存在性问题等居多．解答这类综合题，一般要仔细读题，细致分析，找到切入点，迅速解决第一问，然后抓住关键，由此及彼，逐层深入，合理猜想，细致演练确保第二问正确，在时间充裕的情况下攻克第三问，需综合运用几何、代数方法及分类讨论思想逐一解决．
纵观遵义近五年中考，其综合压轴题，一般以二次函数为背景与几何图形结合，由浅入深设置多问，难度较大，考查综合运用知识和解决问题的能力．预计2018年遵义中考的压轴题也会是代数几何综合题，要有针对性剖析训练．
第一节 用数学思想方法解决问题
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略．数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分．数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中．中考常用到的数学思想方法有：整体思想、化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三．
,中考重难点突破)
【例1】(2017遵义二中二模)如图，菱形ABCD的对角线长分别为3和4，P是对角线AC上任一点(点P不与A，C重合)，且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则图中阴影部分的面积为______ .
【解析】易知四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于点O，则S△POF＝S△AOE，所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．
【答案】3
【规律总结】在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．
【例2】(随州中考)二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象上点(－1，0)，对称轴为直线
2
?1?x＝2，下列结论：①4a＋b＝0；②9a＋c＞3b；③8a＋7b＋2c＞0；④若点A(－3，y1)，点B?－，y2?，点?2??7?C?，y3?在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；⑤若方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜－1
?2?
＜5＜x2.其中正确的结论有( B )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解析】①正确．根据对称轴公式计算即可．②错误．利用x＝－3时，y＜0，即可判断．③正确．由图象可知抛物线经过(－1，0)和(5，0)，列出方程组求出a，b即可判断．④错误．利用函数图象即可判断．⑤正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．
【答案】B
【例3】(2016遵义六中二模)⊙O的半径为2，弦BC＝23，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为________ .
1
【解析】根据题意画出图形，连接OB，由垂径定理可知BD＝BC，在Rt△OBD中，根据勾股定律求出OD的
2长，进而可得出结论．
【答案】1或3
【规律总结】在几何题没有给出图形时，最好先画出图形，运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答，避免出现漏解．
【例4】(三明中考)如图，AB是⊙O的直径，分别以OA，OB为直径作
2
半圆．若AB＝4，则阴影部分的面积是____ .
【解析】首先计算出圆的面积，根据图示可得阴影部分面积为半圆的面积，进而可得答案． 【答案】2π
【规律总结】此类题就是化未知为已知、化繁为简、化难为易，通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化．具体地说，比如把隐含的数量关系转化为明显的数量关系；把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息，转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机．
◆模拟题区
1．(2017遵义航中二模)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．1个
(第1题图)
(第2题图)
2．(2017红花岗二模)已知二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①ac＞0；②方程ax＋bx＋c＝0的两根之和大于0；③y随x的增大而增大；④a－b＋c＞0，其中正确的是( A )
2
2
A．② B．②④ C．①②④ D．①②③④
3．(2017遵义十一中二模)如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为__8－2π__ .(结果用含π的式子表示)
◆中考真题区