设温度按每升高30m下降0.15℃的规律而变化，气球将温度和高度的数据用无线电送回地面。在3000m处所记录的温度为?l℃。试问实际出现?l℃的真实高度是多少？
解：该温度计为一阶系统，其传递函数设为H(s)?115s?1。温度随高度线性变化，对
温度计来说相当于输入了一个斜坡信号，而这样的一阶系统对斜坡信号的稳态响应滞后时间为时间常数?=15s，如果不计无线电波传送时间，则温度计的输出实际上是15s以前的温度，所以实际出现?l℃的真实高度是
Hz=H-V?=3000-5?15=2925m
2-5 想用一个一阶系统做100Hz正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，那
么时间常数应取多少？若用该系统测量50Hz正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？
解：设该一阶系统的频响函数为 H(?)?11?j??，?是时间常数
则 A(?)?11?(??)2
?稳态响应相对幅值误差??A(?)?1?100%??1??????100% 2?1?(2??f)?1令?≤5%，f=100Hz，解得?≤523?s。 如果f=50Hz，则 相对幅????1???????100%??1?2??1?(2??f)??1值
11?(2??523?10误差：
????100%?1.3%
6?50)???50)??9.33?
2相角差：?(?)??arctan(2??f)??arctan(2??523?10
?62-6 试说明二阶装置阻尼比?多采用0.6~0.8的原因。
解答：从不失真条件出发分析。?在0.707左右时，幅频特性近似常数的频率范围最宽，
而相频特性曲线最接近直线。
2-7 将信号cos?t输入一个传递函数为H(s)=1/(?s+1)的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在内的输出y(t)的表达式。
解答：令x(t)=cos?t，则X(s)?Y(s)?H(s)X(s)?12ss??222，所以
s?s?1s??11
利用部分分式法可得到
Y(s)??11?(??)12?1?利用逆拉普拉斯变换得到
?s2(1?j??)s?j??112(1?j??)s?j?
y(t)?L?1[Y(s)]??1?11?(??)t2j?te?t??12(1?j??)j?t2ej?t?12(1?j??))e?j?t??
??1?(??)1122e??e?e?j?t?j??(e?e?j?t2[1?(??)]
?cos?t???sin?t?e?t/???1?(??)??1?(??)2cos(?t?arctan??)?e?t/???1?(??)?22
2-8 求频率响应函数为3155072 / (1 + 0.01j?)(1577536 + 1760j? - ?)的系统对
正弦输入x(t)=10sin(62.8t)的稳态响应的均值显示。
解：该系统可以看成是一个一阶线性定常系统和一个二阶线性定常系统的串联，串联后
仍然为线性定常系统。根据线性定常系统的频率保持性可知，当输入为正弦信号时，其稳态响应仍然为同频率的正弦信号，而正弦信号的平均值为0，所以稳态响应的均值显示为0。 2-9 试求传递函数分别为1.5/(3.5s + 0.5)和41?n2/(s2 + 1.4?ns + ?n2)的两环节串联后组成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）。 解：
H1(s)?1.53.5s?0.5?2237s?1?K17s?1，即静态灵敏度K1=3
22
H2(s)?41?n2s?1.4?ns??n?K2?n2s?1.4?ns??n，即静态灵敏度K2=41
因为两者串联无负载效应，所以 总静态灵敏度K = K1 ? K2 = 3 ? 41 = 123
2-10 设某力传感器可作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz，阻尼比?=0.14，问使用该传感器作频率为400Hz的正弦力测试时，其幅值比A(?)和相角差?(?)各为多少？若该装置的阻尼比改为?=0.7，问A(?)和?(?)又将如何变化？
解：设H(?)??n222s?2??ns??n，则
A(?)?21?????????1????2???????n??n?????222???n2，?(?)??arctan，即
???1?????n? A(f)?21??f???f??1??????2??ffn??n??????222?ffn2，?(f)??arctan
?f?1????fn? 将fn = 800Hz，? = 0.14，f = 400Hz，代入上面的式子得到
2-11 对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其响应的第一个超调量峰值为1.5,振荡周期为6.28s。设已知该装置的静态增益为3，求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。
解：??1???1???ln(M/Kx)0??2A(400) ? 1.31，?(400) ? ?10.57?
如果? = 0.7，则A(400) ? 0.975，?(400) ? ?43.03?
?1???1????ln(1.5/3)?2?0.215
因为?d = 6.28s，所以
?d = 2?/?d = 1rad/s
?n??d1??2?11?0.2152?1.024rad/s
所以H(s)?3?n222s?2??ns??n3?n222?3.15s?0.44s?1.053.152
H(?)??n???j2??n?3?1.05???j0.44?2
A(?)?22?????????1??????0.44???n??n??????2 2???n2 ?(?)??arctan
???1?????n?当? = ?n时，
A(?n)?322?????????1??????0.44?????n??n????2?6.82
?(?n)??90?
第三章 常用传感器与敏感元件
3-1 在机械式传感器中，影响线性度的主要因素是什么？可举例说明。 解答：主要因素是弹性敏感元件的蠕变、弹性后效等。
3-2 试举出你所熟悉的五种机械式传感器，并说明它们的变换原理。
解答：气压表、弹簧秤、双金属片温度传感器、液体温度传感器、毛发湿度计等。 3-3 电阻丝应变片与半导体应变片在工作原理上有何区别？各有何优缺点？应如何针对具体情况来选用？
解答：电阻丝应变片主要利用形变效应，而半导体应变片主要利用压阻效应。 电阻丝应变片主要优点是性能稳定，现行较好；主要缺点是灵敏度低，横向效应大。
半导体应变片主要优点是灵敏度高、机械滞后小、横向效应小；主要缺点是温度稳定性选用时要根据测量精度要求、现场条件、灵敏度要求等来选择。 差、灵敏度离散度大、非线性大。
3-4 有一电阻应变片（见图3-84），其灵敏度Sg＝2，R＝120?。设工作时其应变为1000??，问?R＝？设将此应变片接成如图所示的电路，试求：1）无应变时电流表示值；2）有应变时电流表示值；3）电流表指示值相对变化量；4）试分析这个变量能否从表中读出？
1.5V
图3-84 题3-4图
解：根据应变效应表达式?R/R=Sg?得
?R=Sg? R=2?1000?10-6?120=0.24?
1）I1=1.5/R=1.5/120=0.0125A=12.5mA
2）I2=1.5/(R+?R)=1.5/(120+0.24)?0.012475A=12.475mA
3）?=(I2-I1)/I1?100%=0.2%
4）电流变化量太小，很难从电流表中读出。如果采用高灵敏度小量程的微安表，则量
程不够，无法测量12.5mA的电流；如果采用毫安表，无法分辨0.025mA的电流变化。一般需要电桥来测量，将无应变时的灵位电流平衡掉，只取有应变时的微小输出量，并可根据需要采用放大器放大。 3-5 电感传感器（自感型）的灵敏度与哪些因素有关？要提高灵敏度可采取哪些措施？采取这些措施会带来什么样后果？ 解答：以气隙变化式为例进行分析。
S?dLd???N?0A02?22
又因为线圈阻抗Z=?L，所以灵敏度又可写成
S?dZd???N?0A0?2?22
由上式可见，灵敏度与磁路横截面积A0、线圈匝数N、电源角频率?、铁芯磁导率?0，
气隙?等有关。 如果加大磁路横截面积A0、线圈匝数N、电源角频率?、铁芯磁导率?0，减小气隙?，都可提高灵敏度。 加大磁路横截面积A0、线圈匝数N会增大传感器尺寸，重量增加，并影响到动态特性；减小气隙?会增大非线性。
3-6 电容式、电感式、电阻应变式传感器的测量电路有何异同？举例说明。 解答：电容式传感器的测量电路
??谐振式调幅电路?调幅电路??电桥电路???直放式?调频电路? ??外差式??运算放大器电路?二极管T型网络??差动脉宽调制电路??极化电路等
自感型变磁阻式电感传感器的测量电路：
??谐振式调幅电路???惠斯登电桥????变压器电桥?调幅电路??电桥电路?????紧耦合电感臂电桥 ??????带相敏检波的电桥等????调频电路?调相电路等?
电阻应变式传感器的测量电路：电桥电路（直流电桥和交流电桥）。 相同点：都可使用电桥电路，都可输出调幅波。电容、电感式传感器都可使用调幅电路、
调频电路等。 不同点：电阻应变式传感器可以使用直流电桥电路，而电容式、电感式则不能。另外电容式、电感式传感器测量电路种类繁多。
3-7 一个电容测微仪，其传感器的圆形极板半径r＝4mm，工作初始间隙?=0.3mm，问：1）工作时，如果传感器与工件的间隙变化量??＝?1?m时，电容变化量是多少？2）如果测量电路的灵敏度S1=100mV/pF，读数仪表的灵敏度S2=5格/mV，在??＝?1?m时，读数仪表的指示值变化多少格？ 解：1）
?C??0?A?0??0?A?0????12??0?A???0(?0???)?32?32??0?A???02?6 ?8.85?10?1???(4?10)(?1?10)(0.3?10)?15?3??4.94?10F??4.94?10pF