2019年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）
理 科 数 学
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合M??x?4?x?2?，N?xx2?x?6?0，则MA．?x?4?x?3? C．?x?2?x?2?
??N?
B．?x?4?x??2?
D．?x2?x?3?
2．设复数z满足z?i?1，z在复平面内对应的点为?x,y?，则 A．?x?1??y2?1 C．x2??y?1??1
22
B．?x?1??y2?1 D．x2??y?1??1
22
3．已知a?log20.2，b?20.2，c?0.20.3，则 A．a?b?c
B．a?c?b
C．c?a?b
D．b?c?a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
5?12（
5?1?0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体25?1。若某人满足上述两个黄金分割比2的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是 A．165cm 5．函数f?x??
B．175cm
C．185cm
D．190cm
sinx?x在???,??的图象大致为
cosx?x2
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的
6个爻组
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成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A．
5 16 B．
11 32 C．
21 32 D．
11 167．已知非零向量a，b满足a?2b，且a?b?b，则a与b的夹角为（ ） A．
??? 6 B．
? 3 C．
2? 3 D．
5? 6
8．右图是求
12?12?12的程序框图，图中空白框中应填入
A．A?1 2?A1 A
B．A?2?C．A?1 1?2A1 2AD．A?1?9．记Sn为等差数列?an?的前n项和，已知S4=0，a5?5，则 A．an?2n?5
1 B．an?3n?10 C．Sn?2n2?8n D．Sn?n2?2n
210．已知椭圆C的焦点为F过F2的直线与C交于A，B两点，若AF2?2F2B，AB?BFF2?1,0?，1??1,0?，1，
则C的方程为
x2?y2?1 A．2x2y2??1 B．32
x2y2??1 C．43
x2y2??1 D．5411．关于函数f?x??sinx?sinx有下述四个结论： ①f?x?是偶函数 ②f?x?在区间????,??单调递增 2??③f?x?在???,??有4个零点 ④f?x?的最大值为2 A．①②④
12．已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上，PA?PB?PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，?CEF?90?，则球O的体积为
B．②④
C．①④
D．①③
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A．86? B．46? C．26?
D．6?
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题-第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线y?3x2?xex在点?0,0?处的切线方程为________． 14．记Sn为等比数列?an?的前n项和，若a1???12，a4?a6，则S5=________． 315．甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，
甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是________．
x2y216．已知双曲线C：2?2?1（a?0,b?0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别
ab交于A，B两点，若F1A?AB，F1B?F2B?0，则C的离心率为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设?sinB?sinC??sin2A?sinBsinC.
（1）求A；
（2）若2a?b?2c，求sinC. 18．（12分）
如图，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，AA1?4，
2AB?2，?BAD?60?，E，M，N分别是BC，BB1，A1D点．
（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A?MA1?N的正弦值．
的中
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19．（12分）
已知抛物线C：y?3x的焦点F，斜率为（1）若AF?BF?4，求l的方程； （2）若AP?3PB，求AB． 20．（12分）
已知函数f?x??sinx?ln?1?x?，f??x?为f?x?的导数．证明： （1）f??x?在区间??1,23的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． 2?????存在唯一极大值点； 2?（2）f?x?有且仅有2个零点． 21．（12分）
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验，试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为?和?，一轮试验中甲药的得分记为X.
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药试验开始时都赋予4分，pi（i?0,1,,8）表示“甲药的累计得分为i时 ，最终认为甲
,7）其中a?P?X??1?，
药比乙药更有效”的概率，则p0?0， p8?1，pi?api?1?bpi?cpi?1（i?1,2,b?P?X?0?，c?P?X?1?.假设??0.5，??0.8.
（ⅰ）证明：?pi?1?pi?（i?0,1,,7）为等比数列；
（ⅱ）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
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（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
?1?t2x?,?2?1?t在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴?y?4t?1?t2?建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2?cos??3?sin??11?0． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）若C上的点到l距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc?1，证明： （1）
1a?1b?1c?a2?b2?c2； （2）?a?b?3??b?c?3??c?a?3?24．
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