习题三
2.设总体的分布密度为：
(X1,为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数?的估计值 . 解 计算其最大似然估计：
?(??1)x?,0?x?1f(x;?)??
0,其它??1和极大似然估计量??2 .现测得样本观测值,Xn)为其样本，求参数?的矩估计量?L(?,x1lnL(?,x1xn)???????1?xi??????1??i?1nn?x?ii?1nxn)?nln(??1)???lnxii?1n
ndn?lnL(?,x1xn)????lnxi?0d???1i?1 n?2??1?n??0.2112?lnxii?1 其矩估计为：
X?13.40.1?0.2?0.9?0.8?0.7?0.7??? 661EX??(??1)x??1dx?(??1)0x??11?2X?1???X,??0.3077??20??2X?1???， ?????21
??1?2Xn?1??2???1?n,?所以：?X?1???lnXii?1??1?0.3077,??2?0.2112 ?.
3. 设元件无故障工作时间X具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为：
组中值xi 频 数?i 5 15 25 35 45 55 65 365 245 150 100 70 45 25 如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数?的点估计. .解 最大似然估计：
1
L(?,x1xn)???e??xi??ne??nx,lnL?nln???nx
i?1n7dn1120000??,X?lnL??nx?0,?xv??20 ?iid??X1000i?11000???1?0.05 X.
4. 已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为：
1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948 设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.
1n??x,????(xi?x)2 解 设灯泡的寿命为x,x~N(?,?),极大似然估计为：?ni?122??997.1,???17235.81 . 根据样本数据得到：?经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075.
5. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson分布)，其化验结果如下：
大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 5 6 17 20 10 2 1 0 0 2升 数li 试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？ 解 设x为每升水中大肠杆菌个数，x~最大似然估计为x，所以
P(?)，Ex??，由3题（2）问知，?的
??X??0*17?1*20?2*10?3*2?4*1?/50?1.?L
所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大 .
28. 设X1,...,Xn是来自总体X的样本，并且EX =?，DX = ?，X,S2是样本均值和样本方差，
试确定常数c，使X2?cS2是?的无偏估计量 .
2
2解
E(X2?cS2)?EX2?cES2?DX?E2X?c?2?
所以
?2n??2?c?2??21c?
n.
9. 设??1，??2是?的两个独立的无偏估计量，并且??1的方差是??2的方差的两倍 .试确定常数c1, c2，使得c1??1?c2??2为?的线性最小方差无偏估计量 . 解： 设
D?1??22,D?2?2?2
E(c1?1?c2?2）?c1??c2??(c1?c2)???，c1?c2?1，c2?1?c1
2D(c1?1?c2?2）?c122?2?c22?2?2c12??1?c1??2
?2?2c12??1?c1??3c12?2c1?1
当c1??
10. 设总体X具有如下密度函数，
2?212?，上式达到最小，此时c2?1?c1? . 2*333??x??1,0?x?1f(x,?)??，??0
其它?0,X1,...,Xn是来自于总体X
的样本，对可估计函数g(?)?1??(?)，并，求g(?)的有效估计量g确定R-C下界 .
解 因为似然函数
L(?,x1xn)???xin?1??n?xin?1,lnL?nln??(??1)?lnxi
i?1ndn1??1?1?lnL???lnxi??n???lnxi????n???lnxi?g(?)??0 d?????n?n?所以取统计量T??11?lnxi n111ElnXi??lnx?xdx??lnxdx?xlnx??x??1dx??
??1??10000?3