应用数理统计--第三章习题及答案

习题三

2.设总体的分布密度为:

(X1,为:0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7,求参数?的估计值 . 解 计算其最大似然估计:

?(??1)x?,0?x?1f(x;?)??

0,其它??1和极大似然估计量??2 .现测得样本观测值,Xn)为其样本,求参数?的矩估计量?L(?,x1lnL(?,x1xn)???????1?xi??????1??i?1nn?x?ii?1nxn)?nln(??1)???lnxii?1n

ndn?lnL(?,x1xn)????lnxi?0d???1i?1 n?2??1?n??0.2112?lnxii?1 其矩估计为:

X?13.40.1?0.2?0.9?0.8?0.7?0.7??? 661EX??(??1)x??1dx?(??1)0x??11?2X?1???X,??0.3077??20??2X?1???, ?????21

??1?2Xn?1??2???1?n,?所以:?X?1???lnXii?1??1?0.3077,??2?0.2112 ?.

3. 设元件无故障工作时间X具有指数分布,取1000个元件工作时间的记录数据,经分组后得到它的频数分布为:

组中值xi 频 数?i 5 15 25 35 45 55 65 365 245 150 100 70 45 25 如果各组中数据都取为组中值,试用最大似然法求参数?的点估计. .解 最大似然估计:

1

L(?,x1xn)???e??xi??ne??nx,lnL?nln???nx

i?1n7dn1120000??,X?lnL??nx?0,?xv??20 ?iid??X1000i?11000???1?0.05 X.

4. 已知某种灯泡寿命服从正态分布,在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只,测得其寿命(单位:小时)为:

1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948 设总体参数都未知,试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.

1n??x,????(xi?x)2 解 设灯泡的寿命为x,x~N(?,?),极大似然估计为:?ni?122??997.1,???17235.81 . 根据样本数据得到:?经计算得,这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075.

5. 为检验某种自来水消毒设备的效果,现从消毒后的水中随机抽取50升,化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson分布),其化验结果如下:

大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 5 6 17 20 10 2 1 0 0 2升 数li 试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时,才能使上述情况的概率为最大? 解 设x为每升水中大肠杆菌个数,x~最大似然估计为x,所以

P(?),Ex??,由3题(2)问知,?的

??X??0*17?1*20?2*10?3*2?4*1?/50?1.?L

所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时,出现上述情况的概率最大 .

28. 设X1,...,Xn是来自总体X的样本,并且EX =?,DX = ?,X,S2是样本均值和样本方差,

试确定常数c,使X2?cS2是?的无偏估计量 .

2

2解

E(X2?cS2)?EX2?cES2?DX?E2X?c?2?

所以

?2n??2?c?2??21c?

n.

9. 设??1,??2是?的两个独立的无偏估计量,并且??1的方差是??2的方差的两倍 .试确定常数c1, c2,使得c1??1?c2??2为?的线性最小方差无偏估计量 . 解: 设

D?1??22,D?2?2?2

E(c1?1?c2?2)?c1??c2??(c1?c2)???,c1?c2?1,c2?1?c1

2D(c1?1?c2?2)?c122?2?c22?2?2c12??1?c1??2

?2?2c12??1?c1??3c12?2c1?1

当c1??

10. 设总体X具有如下密度函数,

2?212?,上式达到最小,此时c2?1?c1? . 2*333??x??1,0?x?1f(x,?)??,??0

其它?0,X1,...,Xn是来自于总体X

的样本,对可估计函数g(?)?1??(?),并,求g(?)的有效估计量g确定R-C下界 .

解 因为似然函数

L(?,x1xn)???xin?1??n?xin?1,lnL?nln??(??1)?lnxi

i?1ndn1??1?1?lnL???lnxi??n???lnxi????n???lnxi?g(?)??0 d?????n?n?所以取统计量T??11?lnxi n111ElnXi??lnx?xdx??lnxdx?xlnx??x??1dx??

??1??10000?3

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