专题训练(一) 求锐角三角函数值的方法归类
? 方法一 运用定义求锐角三角函数值 1．2019·日照在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为( ) 512512A. B. C. D. 1313125
2．如图1－ZT－1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是( ) 3434A. B. C. D. 4355
图1－ZT－1 ? 方法二 巧设参数求锐角三角函数值
4
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则tanB的值为( )
54334A. B. C. D. 3455
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝A.55 B. 23
5
，那么cosA的值为( ) 2
2 52C. D. 53
3
5．如图1－ZT－2，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，BE＝2，则tan∠DBE的值
5是( )
图1－ZT－2
155A. B．2 C. D. 225
6．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，且a，b，c满足b2＝(c＋a)(c－a)．若5b－4c＝0，求sinA＋sinB的值．
1
7．如图1－ZT－3，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，
25
若tanB＝，求tan∠CAD的值．
3
图1－ZT－3
? 方法三 在网格中构造直角三角形求锐角三角函数值
8．如图1－ZT－4，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为( )
图1－ZT－4
3434A. B. C. D. 5543
9．如图1－ZT－5，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为( )
图1－ZT－5
A.352 32 5 B. C. D. 3535
10．2019·宜昌△ABC在网格中的位置如图1－ZT－6所示(每个小正方形的边长均为1)，
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AD⊥BC于点D，下列四个选项中，错误的是( )
图1－ZT－6
A．sinα＝cosα B．tanC＝2 C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1
? 方法四 利用等角求锐角三角函数值
11．如图1－ZT－7，A为角α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值错误的是( )
图1－ZT－7
BDBCADCDA. B. C. D. BCABACAC
1
12．如图1－ZT－8，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，则tan∠
2BPC＝________．
图1－ZT－8
? 方法五 利用特殊角求锐角三角函数值
13．如图1－ZT－9，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，连接AD并延长到点E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO＝________． 图1－ZT－9
14．如图1－ZT－10，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1∶2.4的斜坡AP行进了26米到达坡顶A处，在A处又测得该塔顶B的仰角为76°.
求：(1)坡顶A到地面PQ的距离； (2)古塔BC的高度(结果精确到1米)．
(参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01) 图1－ZT－10
? 方法六 利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值 同角三角函数之间有如下关系：
sinα
对于锐角α，有sin2α＋cos2α＝1，tanα＝.
cosα
2
15．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则sinB的值为( )
3255255A. B. C. D.
3355
cosα1
16．已知α为锐角，且cosα＝，求tanα＋的值．
31＋sinα
? 方法七 利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值
若∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB.
对于锐角α，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小，tanα随α的增大而增大．
17．已知0°＜∠A＜90°，那么cos(90°－∠A)等于( ) A．cosA B．sin(90°＋∠A)
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C．sinA D．sin(90°－∠A)
18．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3，求cosB的值． 19．在△ABC中．
12
(1)若∠C＝90°，cosA＝，求sinB的值；
13
(2)若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较cosA与sinB的大小，并说明理由．
详解详析
BC12
1．[解析] B 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝AB2－AC2＝12，∴sinA＝＝.
AB13故选B.
4
2．[解析] D 由勾股定理得OA＝32＋42＝5，所以cosα＝.故选D.
5
AC3x3
3．[解析] B 设BC＝4x，则AB＝5x，AC＝AB2－BC2＝3x，∴tanB＝＝＝.故选
BC4x4B.
∠A的邻边5
4．[解析] B 由三角函数的定义，知cosA＝.又因为tanB＝，所以可设AC
2斜边AC5k5
＝5k，BC＝2k(k>0)，由勾股定理，得AB＝3k，不难求出cosA＝＝＝.故选B.
AB3k3
AE3
5．[解析] B 在Rt△ADE中，∵cosA＝＝，∴设AE＝3x，则AD＝5x.由勾股定理
AD5可得DE＝AD2－AE2＝4x.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝5x，∴BE＝5x－3x＝2x＝2，DE4
∴x＝1，∴DE＝4.在Rt△DBE中，tan∠DBE＝＝＝2.故选B.
BE2
6．解：根据b2＝(c＋a)(c－a)，可得b2＝c2－a2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.因为5b－4c＝0，所以设b＝4k(k>0)，则c＝5k，根据勾股定理可得aab3k4k7
＝3k，所以sinA＋sinB＝＋＝＋＝.
cc5k5k5
7．解：如图，过点D作DE∥AB交AC于点E. ∵∠BAD＝90°，DE∥AB，∴∠ADE＝90°. 5
∵tanB＝，设AD＝5k，则AB＝3k.
3DECD11
∵DE∥AB，∴＝＝，∴DE＝AB，
ABBC33DE1AB13k1
∴tan∠CAD＝＝×＝×＝.
AD3AD35k5
BC
8．[解析] D 在Rt△ABC中，∠A的对边BC＝4，∠A的邻边AB＝3，因此tanA＝AB4
＝.故选D. 3
9．[解析] D 如图，过点B作AC边上的高BD，由勾股定理得AB＝32＋12＝10，
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