27.2.1 相似三角形的判定(第3课时)
学习目标
1.掌握相似三角形的性质,理解相似三角形对应线段的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方.
2.能应用相似三角形的性质进行有关角、线段、周长、面积等有关计算.
学习过程
一、自主预习
1.根据相似三角形的定义可知,相似三角形有什么性质? 2.三角形中有各种各样的几何量,除了三条边的长度、三个内角的度数外,还有高、中线、角平分线的长度,以及周长、面积等.如果两个三角形相似,那么除边、角外的其他几何量之间有什么关系呢?
二、探究新知
探究1:如图,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少?
猜想:相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比各是 . 证明:如图1,分别作△ABC∽△A'B'C'的对应高AD和A'D', ∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B= ;
∵ = =90°,∴ ∽ ;
∴ =k.
即:相似三角形对应高的比是 .
类似的,可以证明相似三角形 、 的比也等于 . 这样,我们得到 .
探究2:相似三角形面积的比与相似比有什么关系?
设△ABC与△A'B'C'的相似比为k,分别作△ABC和△A'B'C'的对应高AD,A'D'. 则AD= A'D',BC= B'C'.
∴S△ABC= BC·AD= × B'C'· A'D'= S△A'B'C',∴
△ = .
△ 相似三角形的面积比等于 .
三、例题学习
【例3】如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,BC边上的高为6,面积是12 ,求△DEF的边EF上的高和面积.
解:
四、反馈练习
1.判断题(正确的画“√”,错误的画“×”).
(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍,这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍; ( )
(2)一个三角形的各边长扩大为原来的9倍,这个三角形的面积也扩大为原来的9倍.( )
2.如图,△ABC与△A'B'C'相似,AD,BE是△ABC的高,A'D',B'E'是△A'B'C'的高,求
证: .
3.在一张复印出来的纸上,一个三角形的一条边由原图中的2 cm变成了6 cm,放缩比例是多少?这个三角形的面积发生了怎样的变化?
五、能力提升
1.如果两个相似三角形对应高线的比是9∶4,那么它们的对应角平分线的比为( ) A.9∶4 B.81∶16 C.16∶81 D.2∶3
2.△ABC中的三条中位线围成的三角形周长是15 cm,则△ABC的周长为( ) A.60 cm B.45 cm
C.30 cm
D. cm
3.两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm,若较大三角形的周长是42 cm,
22
面积是12 cm,则较小三角形的周长为 cm,面积为 cm.
4.如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,BC=9,如果动点D以每秒2个单位长的速度,从点B出发沿边BA向点A运动,直线DE∥BC,交AC于E.记x秒时DE的长度是y,写出y关于x的函数关系式.并画出它的图象.
六、系统小结
相似三角形的性质总共有哪些?
评价作业
1.如图所示,AB∥CD, ,则△AOB的周长与△DOC的周长比是 A. B. 9
( )
C. D. 2.若两个相似三角形面积的比为1∶5,则它们的相似比为( ) A.1∶25 B.1∶5 C.1∶2.5
D.1∶
3.如图所示,在?ABCD中,E是AD边上的中点,连接BE,并延长BE交CD的延长线于点F,则△EDF与△BCF的周长之比是( )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶5
4.如图所示,在△ABC中,DE∥BC, ,则下列结论中正确的是( ) A.
B. C.D.
△ 的周长△ 的周长△ 的面积△ 的面积
2
5.△ABC∽△A'B'C',且相似比是3∶4,△ABC的面积是27 cm,则△A'B'C'的面积为 2
cm.
6.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为2∶3,则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为 .
7.如图所示,把△ABC沿AB边平移到△A'B'C'的位置,它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半,若AB= ,则此三角形移动的距离AA'= .
8.如图所示,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等,则= . 9.在△ABC中,AB=9,AC=12,BC=18,D为AC上一点,AD=4,在AB上取一点E,得到△ADE,若这两个三角形相似,则它们的周长之比是 .
10.如图所示,若BC∥DE, ,S△ABC=4,求S四边形DBCE的值.
11.如图所示,在?ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE= CD. (1)求证:△ABF∽△CEB;