二次函数压轴题分类精选---定值有关

1.抛物线y=x2﹣2mx﹣3m2(m>0)与x轴交于A、B两点,A点在B点左边,与y轴交于C点,顶点为M.

(1)当m=1时,求点A、B、M坐标;

(2)如图(1)的条件下,若P为抛物线上一个动点,以AP为斜边的等腰直角的直角顶点Q在对称轴上,(A、P、Q按顺时针方向排列),求P点坐标.

(3)如图2,若一次函数y=kx+b过B点且与抛物线只有一个公共点,平移直线y=kx+b,使其过抛物线的顶点M,与抛物线另一个交点为D,与x轴交于F点,当m变化时,求证:DF:MF是定值.

【分析】(1)解方程x2﹣2x﹣3=0可得A(﹣1,0),B(3,0);把抛物线解析式配成顶点式可得到M点坐标;

(2)抛物线的对称轴为直线x=1,直线x=1交x轴于N,设P(t,t2﹣2t﹣3),Q(1,a)作PH⊥直线x=1于点H,如图,证明△PQH≌△QAN得到QH=AN,PH=QN,则t2﹣2t﹣3﹣a=2,1﹣t=a,于是可求出t1=3,t2=﹣2,从而得到P点坐标;

(3)利用y=(x﹣m)2﹣4m2得到M(m,﹣4m2),再解方程x2﹣2mx﹣3m2=0得B(3m,0),把B(3m,0)代入y=kx+b得到直线y=kx+b的解析式表示为y=kx﹣3mk,接着利用方程x2﹣2mx﹣3m2=kx﹣3mk有相等的实数解得到△=(2m+k)2﹣4(﹣3m2+3mk)=0,所以k=4m,于是可设直线y=kx+b平移后的解析式为y=4mx+n,然后把M(m,﹣4m2)代入得﹣4m2=﹣4m2+n,解得n=﹣8m2,于是得到经过点D的

直线解析式为y=4mx﹣8m2,再求出F(2m,0),通过解方程组

D(5m,12m2),作DG⊥x轴于E,MG∥x轴,它们相交于点G,如图2,利用平行线分线段成比例定理可得到

=

=3.

【解答】(1)解:当m=1时,抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3,

当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,则A(﹣1,0),B(3,0); ∵y=(x﹣1)2﹣4, ∴M点坐标为(1,﹣4);

(2)解:抛物线的对称轴为直线x=1,直线x=1交x轴于N,设P(t,t2﹣2t﹣3),Q(1,a)

作PH⊥直线x=1于点H,如图, ∵△APQ为等腰直角三角形, ∴PQ=AQ,∠AQP=90°,

∵∠AQH+∠AQN=90°,∠AQN+∠QAN=90°, ∴∠PQH=∠QAN, 在△PQH和△QAN中

∴△PQH≌△QAN, ∴QH=AN,PH=QN,

即t2﹣2t﹣3﹣a=2,1﹣t=a, ∴t2﹣2t﹣3﹣(1﹣t)=2,

整理得t2﹣t﹣6=0,解得t1=3,t2=﹣2, ∴P点坐标为(3,0)或(﹣2,5);

(3)证明:y=x2﹣2mx﹣3m2=(x﹣m)2﹣4m2,则M(m,﹣4m2), 当y=0时,x2﹣2mx﹣3m2=0,解得x1=﹣m,x2=3m,则B(3m,0), 把B(3m,0)代入y=kx+b得3mk+b=0,解得b=﹣3mk,

则直线y=kx+b的解析式表示为y=kx﹣3mk, ∵一次函数y=kx﹣3mk与抛物线只有一个公共点, ∴方程x2﹣2mx﹣3m2=kx﹣3mk有相等的实数解, 方程整理为x2﹣(2m+k)x﹣3m2+3mk=0, ∵△=(2m+k)2﹣4(﹣3m2+3mk)=0, ∴k=4m,

∴一次函数y=kx+b表示为y=4mx﹣12m2, 设直线y=kx+b平移后的解析式为y=4mx+n,

把M(m,﹣4m2)代入得﹣4m2=﹣4m2+n,解得n=﹣8m2, 即经过点D的直线解析式为y=4mx﹣8m2,

当y=0时,4mx﹣8m2=0,解得x=2m,则F(2m,0) 解方程组

,则D(5m,12m2)

作DG⊥x轴于E,MG∥x轴,它们相交于点G,如图2, ∵EF∥MG, ∴

=

=

=3.

【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函

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