导数在研究函数中的应用测试题
一 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 若函数f(x)在R上是一个可导函数，则f′(x)＞0在R上恒成立是f(x)在区间(-∞,+∞)内递增的( )
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
22 （原创题）函数y?4x?1单调递增区间是（ ） x1A. (0,??) B. (??,?1) C. (?,??) D. (1,??)
23 已知函数f(x)??x3?ax2?x?1在(??,??)上是单调函数,则实数a的
取值范围是（ ）
A. (??,?3]?[3,??) B. [?3,3] C. (??,?3)?(3,??) D. (?3,3)
4 对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x?1)f'(x)?0，则必有（ ）
A. f(0)?f(2)?2f(1) B. f(0)?f(2)?2f(1) C.
f(0)?f(2)?2f(1) D. f(0)?f(2)?2f(1)
325 函数y=x-3x-9x(-2 6 已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是( ) A -1＜a＜2 B -3＜a＜6 C a＜-1或a＞2 D a＜-3或a＞6 7（改编题）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示， 则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8 （原创题）函数y?xlnx的最小值为（ ） y y?f?(x)b aO x 1 A. ?11102 B. C. e D. ee39 已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c( ) 1515 B 有最大值－ 221515C 有最小值 D 有最小值－ 221510 已知函数y??x2?2x?3在区间?a,2?上的最大值为,则a等于( ) 431113A. ? B. C. ? D. 或? 22222A 有最大值 11 （原创题）半径为5的半圆有一内接矩形，当周长最大时其边长等于( ) A. 515和 B. 225和45 C. 4和7 D.以上都不对 x-2sinx的图象大致是( ) 212（2011·山东高考）函数y= 二 填空题（共4小题，每小题3分共12分，把答案填在相应的位置上） 13 （原创题）.函数y?lnx的单调递增区间是______________. x32214 函数f(x)?x?ax?bx?a,在x?1时有极值10，那么a,b的值分别为________. 15 若函数f(x)＝ x3 (a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为____________. 2x?a316 （改编题）.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为 ________________. 三 解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 (本小题10分)已知f(x)?ax?bx?c的图象经过点(0,1)，且在x?1处的切线方程 是y?x?2 42（1）求y?f(x)的解析式；（2）求y?f(x)的单调递增区间. 2 18 (本小题10分) 已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c在x??(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间 2与x?1时都取得极值 3(2)若对x?[?1,2]，不等式f(x)?c2恒成立，求c的取值范围. 20 (本小题10分) 某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格， 销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤21）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件． （1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 20 （改编题）(本小题10分) 已知a为实数，f(x)?(x2?4)(x?a) . ⑴求导数f?(x)； ⑵若f?(?1)?0，求f(x)在[－2，2] 上的最大值和最小值； ⑶若f(x)在(－∞，－2)和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围 . 21 (原创题)(本小题12分)已知函数f(x)＝ln(x+1)－ax（a>0） ⑴求函数f(x)的单调区间； ⑵当a?1时，若x??1，证明：1?1?ln(x?1)． x?1 【挑战能力】 a2★1 已知函数f?x??x?，g?x??x?lnx，其中a?0． x（1）若x?1是函数h?x??f?x??g?x?的极值点，求实数a的值； （2）若对任意的x1,x2??1，e?（e为自然对数的底数）都有f?x1?≥g?x2?成立， 求实数a的取值范围 2 已知x?1是函数f(x)?mx3?3(m?1)x2?nx?1的一个极值点, 其中 m,n?R,m?0, (1) 求m与n的关系式; (2) 求f(x)的单调区间; (3) 当x?[?1,1]时, 函数y?f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m, 求m的取值范围. ★3 两县城A和B相聚20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度 与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的 3 总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在响度为0.0065. （1）将y表示成x的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理 的中点时，对称A和城B的总影 厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离，若不存在，说明 理由 . 导数在研究函数中的应用测试题答案 一 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 【答案】A. 【解析】当f′(x)＞0在R上恒成立时，f(x)递增，反之，f(x)递增时，f′(x)≥0. 2 【答案】 C 18x3?112?0?(2x?1)(4x?2x?1)?0?x??【解析】令y'?8x?2? xx223 【答案】B 【解析】 f'(x)??3x2?2ax?1?0在(??,??)恒成立，??4a2?12?0??3?a?3 4 【答案】C ''【解析】当x?1时，f(x)?0，函数f(x)在(1,??)上是增函数；当x?1时，f(x)?0， f(x)在(??,1)上是减函数，故f(x)当x?1时取得最小值，即有 f(0)?f(1),f(2)?f(1),得f(0)?f(2)?2f(1) 5 【答案】C 【解析】y?3x?6x?9?0,x??1,得x?3，当x??1时，y?0；当x??1时，y?0 当x??1时，y极大值?5；x取不到3，无极小值 6 【答案】D 【解析】.由题意：f′(x)=3x2+2ax+(a+6)=0有两个不等实根, ∴Δ=4a2-12(a+6)＞0,解得:a＜-3或a＞6. 7 【答案】A 【解析】极小值点应有先减后增的特点，即 f(x)?0?f(x)?0?f(x)?0 4 ''''2'' 8 【答案】A 【解析】令y'?lnx?1?0?x?，当x?y极小值11时y'?0，；当x?时，y'?0所以ee111?f()??，，在定义域内只有一个极值，所以ymin?? eee1e9 【答案】B 【解析】.由f(x)在[－1,2]上是减函数，知 f′(x)＝3x2＋2bx＋c≤0，x∈[－1,2]， 1)＝3－2b＋c?0??f?(－则? f?2＝12＋4b＋c?0?????15＋2b＋2c≤0 ?b＋c≤－10 【答案】C 【解析】当a??1时,最大值为4,不合题意,当?1?a?2时, f?x?在?a,2?上时减函数, 2f?a?最大, ?a?2a?3?15. 21513,解得a??,或a??(舍去). 42211 【答案】B 【解析】设矩形的一边长为x，则另一边长为225?x2，则 l?2x?425?x2?0?x?R?，l'?2?4x25?x2，令l?0，解得x1?5， 'x2??5（舍去） .当0?x?5时,l'?0,当5?x?5时, l'?0,所以当x?5时,l取最大值,即周长最大的矩形的边长为5,45. 12 【答案】 C. 111-2cosx，所以令y′=-2cosx>0，得cosx<，此时原函数是增函数；22411令y′=-2cosx<0，得cosx>，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得C正确. 24【解析】因为y′= 二 填空题（共4小题，每小题3分共12分，把答案填在相应的位置上） 13 【答案】?0,e? 【解析】因为y?'1?lnx1?lnx'y??0?0?x?e ,所以 x2x214 【答案】4,?11 【解析】f(x)?3x?2ax?b,f(1)?2a?b?3?0,f(1)?a?a?b?1?10 5 '2'2