第七章 线性变换
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V中，A?????,其中??V是一固定的向量； 2） 在线性空间V中，A???其中??V是一固定的向量；
22(x,x,x)?(x,x?x,x)； 12312333） 在P中，A
34） 在P中，A(x1,x2,x3)?(2x1?x2,x2?x3,x1)；
35） 在P[x]中，Af(x)?f(x?1) ；
6） 在P[x]中，Af(x)?f(x0),其中x0?P是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A???。
8） 在P中，AX=BXC其中B,C?P是两个固定的矩阵. 解 1)当??0时,是;当??0时,不是。 2)当??0时,是;当??0时,不是。
3)不是.例如当??(1,0,0),k?2时,kA(?)?(2,0,0), A(k?)?(4,0,0), A(k?)? kA(?)。
4)是.因取??(x1,x2,x3),??(y1,y2,y3),有 A(???)= A(x1?y1,x2?y2,x3?y3)
=(2x1?2y1?x2?y2,x2?y2?x3?y3,x1?y1) =(2x1?x2,x2?x3,x1)?(2y1?y2,y2?y3,y1) = A?+ A?， A(k?)? A(kx1,kx2,kx3)
n?nn?n?(2kx1?kx2,kx2?kx3,kx1)?(2kx1?kx2,kx2?kx3,kx1) = kA(?)，
3
故A是P上的线性变换。
5) 是.因任取f(x)?P[x],g(x)?P[x],并令
u(x)?f(x)?g(x)则
A(f(x)?g(x))= Au(x)=u(x?1)=f(x?1)?g(x?1)=Af(x)+ A(g(x))， 再令v(x)?kf(x)则A(kf(x))? A(v(x))?v(x?1)?kf(x?1)?kA(f(x))， 故A为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取f(x)?P[x],g(x)?P[x]则.
A(f(x)?g(x))=f(x0)?g(x0)?A(f(x))?A(g(x))， A(kf(x))?kf(x0)?kA(f(x))。
7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i , k(Aa)=i, A(ka)?kA(a)。 8)是，因任取二矩阵X,Y?Pn?n，则A(X?Y)?B(X?Y)C?BXC?BYC?AX+AY，
A(kX)=B(kX)?k(BXC)?kAX，故A是Pn?n上的线性变换。
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A=B=C=E,AB?BA,AB=BA，并检验(AB)=AB是否成立。 解 任取一向量a=(x,y,z)，则有 1) 因为
Aa=(x,-z,y), Aa=(x,-y,-z)，Aa=(x,z,-y), Aa=(x,y,z)， Ba=(z,y,-x), Ba=(-x,y,-z)，Ba=(-z,y,x), Ba=(x,y,z)， Ca=(-y,x,z), Ca=(-x,-y,z)，Ca=(y,-x,z), Ca=(x,y,z)， 所以A=B=C=E。
2) 因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)， 所以AB?BA。
3)因为AB(a)=A(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，BA(a)=B(x,-y,-z)=(-x,-y,z)， 所以AB=BA。
4)因为(AB)(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，AB(a)=(-x,-y,z)， 所以(AB)?AB。
'3.在P[x] 中，Af(x)?f(x),Bf(x)?xf(x)，证明:AB-BA=E。
22222222222222224442224442222222343434证 任取f(x)?P[x]，则有
';'
(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f(x))=f(x)?xf(x)-xf(x)=f(x)
所以 AB-BA=E。
4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：AB-BA=kA证 采用数学归纳法。当k=2时
AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a，结论成立。
mmm?1归纳假设k?m时结论成立，即AB-BA=mA。则当k?m?1时，有 m?1m?1m?12222kkk?1
(k>1)。
AB-BA=(A
mB-ABA)+(ABA-BA
mmm?1)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+mA
mmmmm?1A=(m?1)A。
即k?m?1时结论成立.故对一切k?1结论成立。 5.证明：可逆变换是双射。
证 设A是可逆变换，它的逆变换为A
?1。
?1若a?b，则必有Aa?Ab，不然设Aa=Ab，两边左乘A其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令A
?1，有a=b，这与条件矛盾。
b=a即可。因此,A是一个双射。
6.设?1,?2,?,?n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A?1,A?2,?,A?n线性无关。
证 因A(?1,?2,?,?n)=(A?1,A?2,?,A?n)=(?1,?2,?,?n)A，
故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A?1,A?2,?,A?n线性无关，故A可逆的充要条件是A?1,A?2,?,A?n线性无关.。 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1) 第1题4)中变换A在基?1=(1,0,0),?2=(0,1,0),?3=(0,0,1)下的矩阵；
2) [o; ?1,?2]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂
直投影,B是平面上的向量对?2的垂直投影，求A,B,AB在基?1,?2下的矩阵； 3) 在空间P[x]n中，设变换A为f(x)?f(x?1)?f(x)， 试求A在基?i=x(x?1)?(x?i?1)4) 六个函数 ?1=e
ax1 (I=1,2,?,n-1)下的矩阵A； i!axcosbx,?2=e
axsinbx，?3=xecosbx,?4=xe
axsinbx，
?1=x2eaxcosbx,?1=eaxx2sinbx，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空
间，求微分变换D在基?i(i=1,2,?,6)下的矩阵；
1212?101???35) 已知P中线性变换A在基?1=(-1,1,1),?2=(1,0,-1),?3=(0,1,1)下的矩阵是?110?，
??121???求A在基?1=(1,0,0),?2=(0,1,0),?3=(0,0,1)下的矩阵； 6) 在P中，A定义如下：
3?A?1?(?5,0,3)??A?2?(0,?1,6)， ?A??(?5,?1,9)?3其中
??1?(?1,0,2)???2?(0,1,1)， ???(3,?1,0)?3求在基?1=(1,0,0),?2=(0,1,0),?3=(0,0,1)下的矩阵； 7) 同上，求A在?1,?2,?3下的矩阵。 解 1)
A?1=(2,0,1)=2?1+?3，A?2=(-1,1,0)=-?1+?2，A?3=(0,1,0)=
?2，
?2?10???故在基?1,?2，?3下的矩阵为?011?。
?100???2）取?1=（1，0），?2=（0，1），则A?1=
1111?1+?2，A?2=?1+?2，
2222?1?故A在基?1，?2下的矩阵为A=?21???21??2?。 1??2??00?又因为B?1=0，B?2=?2，所以B在基?1，?2下的矩阵为B=?（AB）?2=A?01??，另外，
??（B?2）=A?2=
11?1+?2，
22??0所以AB在基?1，?2下的矩阵为AB=???0?3）因为 ?0?1,?1?x,?2?所以A?0?1?1?0，
A?1?(x?1)?x??0，
A?n?1?1??2?。 1??2?x(x?1)x(x?1)?[x?(n?2)],?,?n?1?， 2!(n?1)!(x?1)x?[x?(n?3)]x(x?1)?[x?(n?2)]?
(n?1)!(n?1)!=
x(x?1)?[x?(n?3)]{(x?1)?[x?(n?2)]}
(n?1)!=?n?2，
?01???01?????。 所以A在基?0,?1,?,?n?1下的矩阵为A=?????1???0??4）因为 D?1=a?1-b?2,
D?2=b?1-a?2,?6， D?3=?1+a?3-b?4, D?4=?2+b?3+a?4, D?5=?3+a?5-b?6, D?6=?4+b?5+a?6，
??ab1000???ba0100???所以D在给定基下的矩阵为D=?00ab10???00?ba010??。?0000ab???0000?ba????5）因为(???110?1,?2,?3)=(?1,?2，?3)?101???，所以 ?1?11????(??11?1??1,?2，?3)=(?1,?2,?3)?01?1??=(?1,?2,?3)X，
?101??故A在基?1,?2，?3下的矩阵为
??110??101???1B=X?1AX=??101???1?1???11?110????01?1??=??22??1?11?????121????101????30?2?0??。2??