九年级数学期中复习华东师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容： 期中复习
教学内容：
主要是复习相似形，解直角三角形，函数的概念，二次根式化简，分式，一元二次方程，圆等章节内容。
知识与技能：
1. 掌握相似三角形的识别与特征并会运用 2. 解直角三角形的基本方法 3. 掌握有关函数问题
4. 掌握有关分式的意义和计算及分式方程的求解问题
5. 会用不同方法求解一元二次方程掌握根的判别式，利用方程求解实际问题
6. 掌握圆中有关概念，有关圆周角或圆心角的计算问题；还有切线的识别与判断及两圆位置关系的应用等
教学过程： 一. 知识点回顾
1. 相似三角形的识别方法：
两个角对应相等，两三角形相似
两边对应成比例，且夹角相等两三角形相似 三边对应成比例，两三角形相似 相似三角形的特征：
相似三角形的对边成比例，对应角相等
2. 解直角三角形的有关知识 （1）锐角A的三角函数
A C B ?A的对边?A的邻边，cosA?
斜边斜边?A的对边?A的邻边 tanA?，cotA?
?A的邻边?A的对边 sinA? （2）熟记30,45,60的四种三角函数 （3）解直角三角形的依据（?C?90）
????
用心 爱心 专心
A b c C a B （i）三边的关系a?b?c
（ii）锐角间的关系?A??B?90? （iii）边角之间的关系sinA?222
abab，cosA?，tanA?，cotA? ccba （4）解实际问题的关系是寻求或构造直角三角形，常规辅助线是作垂线。
3. 函数的有关知识
（1）平面直角坐标系中点的坐标特征及有关对称点的坐标 （2）一次函数：y?kx?b（k，b为常数，k?0） 当b＝0时，一次函数y?kx?b就成为y?kx(k?0) 直线y?kx?b(k?0)中，k和b决定着直线的位置 （i）k?0,b?0?直线经过一、二、三象限 （ii）k?0,b?0?直线经过一、三、四象限 （iii）k?0,b?0?直线经过一、二、四象限 （iv）k?0,b?0?直线经过二、三、四象限 注意：确定一次函数解析式和自变量取值范围是重点。 （3）反比例函数y?k（k为常数，且k?0） x
4. 分式的有关知识
（1）分式成立的条件是分母不为0
（2）有关整式的除法有同底数幂相除、单项式除以单项式、多项式除以多项式。 （3）零指数幂a?1(a?0) 负指数幂a?p0?1（a?0，p为正整数） ap （4）掌握科学记数法以及分式的四则运算；通过化简求值（包括整体代入）会求分式的值
（5）分式方程注意要验根
5. 一元二次方程的有关知识
（1）方程的基本解法：直接开平方法；因式分解法；配方法；公式法，要求会用不同方法求解
（2）掌握根的意义，会将根代回方程检验，已知方程的根解决实际问题
（3）根的判别式：对于一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)根的判别式
2??b2?4ac
2 当??b?4ac?0时，方程有两个不等实根
2 当??b?4ac?0时，方程有两个相等实根
2 当??b?4ac?0时，方程无实根
用心 爱心 专心
利用根的判别式会判断方程有无实根，会用判别式解决有关方程的问题
6. 有关圆的知识
（1）掌握确定圆心的方法 利用垂径定理：
D C O A B
利用圆周角：
D A O B
（2）圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等
（3）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 （4）圆周角的性质
（i）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角）
（ii）90的圆周角所对的弦是圆的直径
（iii）在同一圆内，圆弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等
（5）三角形的外接圆，三角形的内切圆
经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，三角形的外心是三角形任意两边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，它到三角形各边的距离都相等。 （6）圆的切线的判定
（i）定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 （ii）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 （iii）过半径外端且与半径垂直的直线是圆的切线 （7）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径 （8）切线长：
（i）定义：圆的切线上某一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
（ii）切线长的性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。 （9）和圆有关的位置关系
（i）点和圆的位置关系（点到圆心距离为d，半径为r）
用心 爱心 专心
??
d?r?点在圆内 d?r?点在圆上 d?r?点在圆外
（ii）直线和圆的位置关系（圆心到直线距离为d，半径为r） d?r?直线和圆相交 d?r?直线和圆相切 d?r?直线和圆相离
（iii）圆和圆的位置关系（圆心距离为d，两圆半径为R，r，R?r） d?R?r，两圆外离 d?R?r，两圆外切
R?r?d?R?r，两圆相交 d?R?r，两圆内切 d?R?r，两圆内含
【例题详解】
例1. 已知，如图，O是直角坐标系的原点，四边形OABC是正方形，点B的坐标是（2，2），点D在OC边上，?DOA的面积是正方形OABC面积的
1，求： 4 （1）求直线AD的解析式
（2）点E在BC边上，如果A、B、E、D四点在同一个圆上，求点E的坐标
y C E B D O A x 解析：（1）?S?DOA?1S?ABC 41?2?a?a 2
设D点坐标（0，a），则S?DOA? SOABC?4，?S?DOA?1?4?1 4 ?a?1，?D（0，1）
设直线AD的解析式为y?kx?b(k?0)，A（2，0）
1??2k?b?0?k?? 则???2
?b?1??b?11 ?AD的解析式为y??x?1
2 （2）连结DE，若A、B、E、D四点在同一个圆上 则?EDA??B?90，即ED?DA 得到?CDE~?OAD
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?
CECD ?ODOA ?OD?1，?CD?1 又OA?2
CE1 ??
121 ?CE?
21 ?E点坐标为（，2）
2 ?
例2. 某船向正东航行，在A处望见岛C在北偏东60?方向，前进6海里到B处，望见岛C在北偏东30方向，已知岛C周围4海里范围内有暗礁，如果此船不改变航向，有无触礁危险？
北 北 C 60 30 ?
分析：此船有无触礁危险就要看船行驶到距离岛C最近的位置即图中E处时，CE的长度是否在4海里范围内？即比较CE与4海里的大小。 解：过点C作CE?AD于点E，由题意结合图形，可知 ?CAE?30，?CBE?60，AB＝6海里 由?CBE??CAE??ACB，得?ACB?30 则?CAE??ACB 所以BC?AB?6海里 在Rt?CEB中，由sin?CBE???? A B E D CE BC? 得CE?BCsin?CBE?6?sin60?6? 所以此船不改变航向，无触礁危险。
例3. 求下列函数自变量的取值范围 （1）y?3?33?5.20?4 23?2x
1 （2）y? 23?2x?xx?1 （3）y?2
x?9 分析：求函数自变量的取值范围，就是得到解析式有意义的自变量的范围。 解：（1）由题意知3?2x?0，?x?3 2用心 爱心 专心