题5-15图
?1(2)∵??4?,u?2m?s，∴??uT?u2???1m，又x?0处，t?4.2s时，
?0?4.2?4??16.8?
y0?Acos4??4.2??0.8A
又，当y??A时，?x?17?，则应有
16.8??2?x?17? 解得 x?0.1m，故t?4.2s时的波形图如题5-15图所示
5-16 题5-16图中(a)表示t=0时刻的波形图，(b)表示原点(x=0)处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出x=2m处质元的振动曲线．
解: 由题5-16(b)图所示振动曲线可知T?2s,A?0.2m，且t?0时，y0?0,v0?0， 故知?0???2,再结合题5-16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿x轴负向传播，
且??4m，若取y?Acos[2?(tx?)??0] T?
题5-16图
则波动方程为
y?0.2cos[2?(?t2x?)?] 42-3
-2
-1
5-17 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.0×10J·m·s，频
-1
率为300 Hz，波速为300m·s，求 ： (1)波的平均能量密度和最大能量密度? (2)两个相邻同相面之间有多少波的能量?
解: (1)∵ I?wu
I10?3?6?10?5J?m?3 ∴ w??18.0?u300wmax?2w?1.2?10?4 J?m?3
(2) W??V?w121u?d??w?d2 44?1300?6?10?5???(0.14)2??9.24?10?7J
43005-18 如题5-18图所示，S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距
?，S1较S2位相超前4?，求： 2(1) S1外侧各点的合振幅和强度； (2) S2外侧各点的合振幅和强度
解：（1）在S1外侧，距离S1为r1的点，S1S2传到该P点引起的位相差为
????2?2????r?(r?)??? 11???4?A?A1?A1?0,I?A2?0
（2）在S2外侧.距离S2为r1的点，S1S2传到该点引起的位相差.
????2?2??(r2??4?r2)?0
2A?A1?A1?2A1,I?A2?4A1
5-19 如题5-19图所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，它在B点的振动方程为
y1?2?10?3cos2?t;C点发出的平面横波沿CP方向传播，它在C点的振动方程为
m，波速y2?2?10?3cos(2?t??)，本题中y以m计，t以s计．设BP＝0.4m，CP＝0.5
u=0.2m·s-1，求：
(1)两波传到P点时的位相差；
(2)当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅；
*(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，P处合振动的振幅． 解: (1) ???(?2??1)?2??(CP?BP)
u2????(0.5?0.4)?0
0.2????(CP?BP)
题5-19图
(2)P点是相长干涉，且振动方向相同，所以
AP?A1?A2?4?10?3m
(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0，这时合振动轨迹是通过Ⅱ，Ⅳ象限的直线，所以合振幅为
A?2A12?A2?2A1?22?10?3?2.83?10?3m
5-20 一平面简谐波沿x轴正向传播，如题5-20图所示．已知振幅为A，频率为? 波速为u．
(1)若t=0时，原点O处质元正好由平衡位置向位移正方向运动，写出此波的波动方程； (2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求x轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置． 解: (1)∵t?0时，y0?0,v0?0，∴?0???2故波动方程为
x?y?Acos[2?v(t?)?]m
u2
题5-20图
(2)入射波传到反射面时的振动位相为(即将x?32?3??代入)????，再考虑到波由4?42波疏入射而在波密界面上反射，存在半波损失，所以反射波在界面处的位相为
3????????? ?42若仍以O点为原点，则反射波在O点处的位相为 2???5????????，因只考虑2?以内的位相角，∴反射波在O点的位相为?，故3422?反射波的波动方程为
2?x?y反?Acos[2??(t?)?]
u2此时驻波方程为
y?Acos[2??(t?)? ?2Acos故波节位置为
故 x?(2k?1)xu?x?]?Acos[2??(t?)?] 2u22??x?cos(2??t?) u22??x2???x?(2k?1) u?2?4 (k?0,?1,?2,…)
根据题意，k只能取0,1，即x?13?,? 445-20 一驻波方程为y=0.02cos20xcos750t (SI)，求： (1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速； (2)相邻两波节间距离． 解: (1)取驻波方程为
y?2Acos故知 A?2??xcos2??t u0.02?0.01m 27502???20 ，
2?u2??2??750/2???37.5m?s?1 ∴ u?2020u2??/20?0.1??0.314m所以相邻两波节间距离 (2)∵???2???750，则?????x??2?0.157m
5-22 在弦上传播的横波，它的波动方程为y1=0.1cos(13t+0.0079x) (SI)
试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在x=0处为波
节．
解: 为使合成驻波在x?0处形成波节，则要反射波在x?0处与入射波有?的位相差，故反射波的波动方程为
y2?0.1cos(13t?0.0079x??) 5-23 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为
y1=0.06cos(?x?4?t)(SI), y2=0.06cos(?x?4?t)(SI)．
(1)试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置； (2)波腹处的振幅多大?x=1.2m处振幅多大? 解: (1)它们的合成波为
y?0.06cos(?x?4?)?0.06cos(?x?4?t) ?0.12cos?xcos4?t
出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动． 令?x?k?，则x?k，k=0,±1，±2…此即波腹的位置；
1，k?0,?1,?2,…，此即波节的位置．
22(2)波腹处振幅最大，即为0.12m；x?1.2 m处的振幅由下式决定，即
令?x?(2k?1),则x?(2k?1)?A驻?0.12cos(??1.2)?0.097m
5-24 汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz变到了1000 Hz，设空气中
-1
声速为330m·s，求汽车的速率．
解: 设汽车的速度为vs，汽车在驶近车站时，车站收到的频率为 ?1?u?0 u?vsu?0 u?vs汽车驶离车站时，车站收到的频率为?2?联立以上两式，得
?1?u?1??21200?1000?300??30m?s?1
?1??21200?100-1
-1
5-25 两列火车分别以72km·h和54 km·h的速度相向而行，第一 列火车发出一个600 Hz
-1
的汽笛声，若声速为340 m·s，求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相遇后分别是多少?
解: 设鸣笛火车的车速为v1?20m?s，接收鸣笛的火车车速为v2?15m?s，则两者相遇前收到的频率为
?1?1?1?u?v2340?15?0??600?665 Hz u?v1340?20两车相遇之后收到的频率为
?1?
u?v2340?15?0??600?541 Hz u?v1340?20