p?24E2?m0cc2?1824(Ek?m0c2)2?m0cc9?6Ek2?2Ekm0c2c21?382
?[(2.8?10?2?2.8?10?0.511?10)?1.6?10?1.49?10?18kg?m?s?1]/3?108
343-22 氢原子的同位素氘(21H)和氚(1H)在高温条件下发生聚变反应，产生氦(2He)原子核和31一个中子(0n)，并释放出大量能量，其反应方程为2H + 11H
-27
421He + 0n
止质量为2.0135原子质量单位(1原子质量单位＝1.600×10kg)，氚核和氦核及中子的质量
分别为3.0155，4.0015，1.00865原子质量单位．求上述聚变反应释放出来的能量． 解: 反应前总质量为2.0135?3.0155?5.0290amu 反应后总质量为4.0015?1.0087?5.0102amu 质量亏损 ?m?5.0290?5.0102?0.0188amu
?3.12?10?29kg
?E??mc2?3.12?10?29??3?108?
2?2.81?10?21J?1.75?107eV
3-23 一静止质量为m0的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c和0.8c．求裂变过程的静质量亏损和释放出的动能．
解: 孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损．
设裂变产生两个粒子的静质量分别为m10和m20，其相应的速度v1?0.6c,v2?0.8c 由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有
??m1v1?m2v2?m10v121?2cm101?vc212?v1?m202v21?2c?v2?0
m1?m2??m201?vc222?m0
注意m1和m2必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以
v1?0.6c,v2?0.8 c代入，将上二方程化为：
mm68m10?m20，10?20?m0 860.80.6上二式联立求解可得：
m10?0.459m0, m20?0.257m0
故静质量亏损?m?m0?(m10?m20)?0.284m0由静质量亏损引起静能减少，即转化为动
?Ek??mc2?0.284m0c2
3-24 有A，B两个静止质量都是m0的粒子，分别以v1=v,v2=-v的速度相向运动，在发生完全非弹性碰撞后合并为一个粒子．求碰撞后粒子的速度和静止质量．
解: 在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别m1和m2，碰撞后粒子的质量为M、速度为V，于是，根据动量守恒和质量守恒定律可得：
m1v1?m2v2?MV ① m1?m2?M ②
由于 m1v1?m2v2?m0vv1?()2c?m0(?v)1?(?v2)c?0
代入①式得 V?0
M?m1?m22m0v1?()2c，即为碰撞后静止质量．
3-25 试估计地球、太阳的史瓦西半径．
解: 史瓦西半径 rs?2GM c224地球： M?6?10kg
2?6.7?10?11?6?1024则： rs??8.9?10?3m 82(3?10)太阳： M?2?1030kg
2?6.7?10?11?2?10303则： rs? m ?3?1082(3?10)3-26 典型中子星的质量与太阳质量M⊙＝2×10kg
30
-15
10km．若进一步
坍缩为黑洞，其史瓦西半径为多少?一个质子那么大小的微黑洞(10cm)，质量是什么数量级?
解: (1)史瓦西半径与太阳的相同，rs?3?103m
(2) rs?10?15cm ?10?17m
2GM 2c由 rs?rsc210?17?(3?108)29??6.7?10得 M?kg ?112G2?6.7?103-27 简述广义相对论的基本原理和实验验证．
解: 广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理．
等效原理又分为弱等效原理和强等效原理．弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验 都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．
广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同． 广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等．
习题四
4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动；
(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)．
题4-1图
解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系统的运动微分方程能用
d2???2??0 2dt描述时，其所作的运动就是谐振动．
(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力．
(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为?mgsin?，如题4-1图(b)所
?S→0，所以回复力为?mg?.式中负号，表示回复R力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O?为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，
示．题 中所述，?S＜＜R，故??在凹槽切线方向上有
d2?mR2??mg?
dt令??2g，则有 Rd2?2???0 2dt4-2 劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．
题4-2图
解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有F?F1?F2，设串联弹簧的等效倔强系数为K串等效位移为x，则有
F??k串xF1??k1x1
F2??k2x2
又有 x?x1?x2
x?所以串联弹簧的等效倔强系数为
FFF?1?2 k串k1k2k串?k1k2
k1?k2即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k?k1k2/(k1?k2)的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为
T?2???2?m(k1?k2)m?2? k串k1k2(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F?F1?F2，即x?x1?x2，设并联弹簧的倔强系数为k并，则有
k并x?k1x1?k2x2
故 k并?k1?k2 同上理，其振动周期为
T??2?m
k1?k24-3 如题4-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为?，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．