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第十一讲 二元函数的极值
要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。
问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题．
一．二元函数的极值
定义 设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有
(x,y)?(x0,y0)，如果总有f(x,y)?f(x0,y0)，则称函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处有
极大值；如果总有f(x,y)?f(x0,y0)，则称函数z?f(x,y)在点(x0,y0)有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．
例1．函数z?xy在点(0,0)处不取得极值，因为在点(0,0)处的函数值为零，而在点
(0,0)的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．
例2．函数z?3x2?4y2在点(0,0)处有极小值． 因为对任何(x,y)有f(x,y)?f(0,0)?0．
从几何上看，点(0,0,0)是开口朝上的椭圆抛物面z?3x?4y的顶点，曲面在点
22(0,0,0)处有切平面z?0，从而得到函数取得极值的必要条件．
定理1（必要条件）
设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即fx(x0,y0)?0，fy(x0,y0)?0． 几何解释
若函数z?f(x,y)在点(x0,y0)取得极值z0，那么函数所表示的曲面在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为
z?z0?fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)
是平行于xoy坐标面的平面z?z0．
类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 fx(x0,y0,z0)?0，fy(x0,y0,z0)?0，fz(x0,y0,z0)?0
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说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即
?fx(x0,y0)?0只要解方程组? ，求得解(x1,y1),(x2,y2)??(xn,yn)，那么极值点必包
f(x,y)?0?y00含在其中，这些点称为函数z?f(x,y)的驻点．
注意1．驻点不一定是极值点，如z?xy在(0,0)点． 怎样判别驻点是否是极值点呢？下面定理回答了这个问题．
定理2（充分条件）
设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又
fx(x0,y0)?0，fy(x0,y0)?0，
令 fxx(x0,y0)?A，fxy(x0,y0)?B，fyy(x0,y0)?C，则
（1）当AC?B?0时，函数z?f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，且当A?0时，有极大值f(x0,y0)，当A?0时，有极小值f(x0,y0)；
（2）当AC?B?0时，函数z?f(x,y)在点(x0,y0)没有极值；
（3）当AC?B?0时，函数z?f(x,y)在点(x0,y0)可能有极值，也可能没有极值，还要另作讨论．
求函数z?f(x,y)极值的步骤：
（1）解方程组fx(x0,y0)?0，fy(x0,y0)?0，求得一切实数解，即可求得一切驻点
222(x1,y1),(x2,y2)??(xn,yn)；
（2）对于每一个驻点(xi,yi)(i?1,2,2n)，求出二阶偏导数的值A,B,C；
（3）确定AC?B的符号，按定理2的结论判定f(xi,yi)是否是极值，是极大值还是极小值；
（4）考察函数f(x,y)是否有导数不存在的点，若有加以判别是否为极值点．
22例3．考察z??x?y是否有极值．
解 因为
?z??x?xx?y22，
?z??yyx?y22在x?0,y?0处导数不存在，但是对所
有的(x,y)?(0,0)，均有f(x,y)?f(0,0)?0，所以函数在(0,0)点取得极大值．
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注意2．极值点也不一定是驻点，若对可导函数而言，怎样？ 例4．求函数f(x,y)?x3?y3?3x2?3y2?9x的极值．
2??fx?3x?6x?9?0解 先解方程组?，求得驻点为(1,0),(1,2),(?3,0),(?3,2)， 2??fy??3y?6y?0再求出二阶偏导函数fxx?6x?6，fxy?0，fyy?6y?6．
在点(1,0)处，AC?B?12?6?72?0，又A?0，所以函数在点(1,0)处有极小值为
2f(1,0)??5；
在点(1,2)处，AC?B??72?0，所以f(1,2)不是极值； 在点(?3,0)处，AC?B??72?0，所以f(?3,0)不是极值；
2在点(?3,2)处，AC?B?72?0，又A?0，所以函数在点(?3,2)处有极大值为
22f(?3,2)?31．
二．函数的最大值与最小值
求最值方法：
⑴ 将函数f(x,y)在区域D内的全部极值点求出；
⑵ 求出f(x,y)在D边界上的最值；即分别求一元函数f(x,?1(x))，f(x,?2(x))的最值；
⑶ 将这些点的函数值求出，并且互相比较，定出函数的最值． 实际问题求最值
根据问题的性质，知道函数f(x,y)的最值一定在区域D的内部取得，而函数在D内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最值． 例4．求把一个正数a分成三个正数之和，并使它们的乘积为最大．
解 设x,y分别为前两个正数，第三个正数为a?x?y，
问题为求函数 u?xy(a?x?y)在区域D：x?0，y?0，x?y?a内的最大值．
因为
?u?u?y(a?x?y)?xy?y(a?2x?y)，?x(a?2y?x)， ?x?y解方程组??a?2x?y?0aa ，得x?，y?．
33?a?2y?x?0由实际问题可知，函数必在D内取得最大值，而在区域D内部只有唯一的驻点，则函
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