线性规划及单纯形法习题

第一章 线性规划及单纯形法习题

1.用图解法求解下列线性规划问题,并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解还是无可行解。

minz?2x1?3x2(1)?max?3x1?2x2 (2) ??4x1?6x2?6?2x1?2x2?4?x,x?0?12?2x1?x2?2

?3x1?4x2?12?x,x?0?12maxz?x1?x2 (3) ?maxz?5x1?6x2?2x1?x2?2 ???2x1?3x2?2?x,x?0?21minz?2x1?2x2?3x3??x1?x2?x3?4? (2) ??2x1?x2?x3?6

???2x1?3x2?x3?x4?2??x1?0,x2?0,x3无约束?6x1?10x2?120 (4)

?5?x1?10?3?x?82?2.将下列线性规划问题化成标准形式。

minz??3x1?4x2?2x3?5x4?4x1?x2?2x3?x4??2?(1)?x1?x2?x3?2x4?14???2x1?3x2?x3?x4?2??x1,x2,x3?0,x4无约束3.对下列线性规划问题找出所有基本解,指出哪些是基可行解,并确定最优解。

minz?3x1?x2?2x3?12x1?3x2?6x3?3x4?9? (1) ?8x1?x2?4x3?2x4?10 (2)

??3x1?x6?2?xj?0(j?1,?,6)?minz?5x1?2x2?3x3?2x4?x1?2x2?3x3?4x4?7??2x1?2x2?x3?2x4?10?x?0(j?1,?,4)?j

4.分别用图解发法和单纯形法求解下述问题,并对照单纯形表中的各基本可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。

maxz?10x1?5x2?3x1?4x2?9 (1) ??5x1?2x2?8?x,x?0?21maxz?2x1?x2?3x1?5x2?15 (2) ?

6x?2x?24?12?x,x?0?215.上题(1)中,若目标函数变为maxz?cx1?dx2,讨论c,d的值如何变化,使该问题可行域的每一顶点依次使目标函数达到最优。 6.考虑下述线性规划问题:

maxz?cx1?dx2?a11x1?a12x2?b ?

?a21x1?a22x2?b??x2,x1?0式中1?c1?3,4?c2?6 , ?1?a11?3,2?a12?5,8?b1?12,

2?a21?5,4?a22?6,10?b2?14,试确定目标函数最优值的下界和上

界。

7.分别用单纯形法中的大M法和两阶段法求解下列线性规划问题,并指出属哪一类解。

maxz?2x1?x2?2x3?x1?x2?x3?6? (1) ??2x1?x3?2??2x2?x3?0?xj?0(j?1,2,3)?minz?4x1?x2minz?2x1?3x2?x3 (2) ??x1?4x2?2x3?8?3x1?2x2?6?x,x,x?0?123

maxz?10x1?15x2?12x3?5x1?3x2?x3?9??5x?6x?15x?15?123??2x1?x2?x3?5?xj?0(j?1,?,3)?

?3x1?x2?3? (3) ?4x1?3x2?x3?6 (4)

??x1?2x2?x4?4?xj?0(j?1,?,4)?8.已知某线性规划问题的初始单纯形表和单纯形法迭代后得到的表1-1,试求括号中未知数a~l的值。

表1-1 x4 x5 6 1 x1 (b) -1 (a) (g) (h) 0 x2 (c) 3 -1 2 (i) -7 x3 (d) (e) 2 -1 1 (j) x4 1 0 0 1/2 1/2 (k) x5 0 1 0 0 1 (l) cj?zj x1 x5 (f) 4 cj?zj 9.若X(1),X(2) 均为某线性规划问题的最优解,证明在两点连线上的所

有点也是该问题的最优解。

10. 线性规划问题max z=CX,AX=b,X≥0,设X0为问题的最优解。若目标函数中用C*代替C后,问题的最优解变为X,求证:

(C*-C)( X*- X0)≥0

11. 考虑线性规划问题

*maxz??x1?2x2?x3?x4?x1?x2?x4?4?2???2x1?x2?x3?2x4?5?7??x?0(j?1,?,4)?j模型中?,?,为参数,要求:

(1)组成两个新的约束(i)?(i)?(ii),根据(i),(ii),以x1,x2为基变量,列出初始单纯形表;

(2)在表中,假定??0,则?为何值时,x1,x2为问题的最优基;

'''(i)(ii)

(3)在表中,假定??3,则?为何值时,x1,x2为问题的最优基。

12. 线性规划问题max z=CX,AX=b,X≥0,如X·是该问题的最优解,又且>0为某一常数,分别讨论下列情况时最优解的变化。

(1)目标函数变为maxz=?CX; (2)目标函数变为max2=(C+?)X;

(3)目标函数变为maxz?C? x,约束条件变为AX=?b

13. 某饲养场饲养动物出售,设每头动物每天至少需700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素。现有五种饲料可供选用,各种饲料每公斤营养成分含量及单价如表1—2所示:

表1-2 饲料 蛋白质(g) 矿物质(g) 维生素(mg) 价格(元/kg) 1 2 3 4 5 3 2 1 6 18 1 2 2 要求确定既满足动物生长的营养需要,又使费用最省的选用饲料的方案。(建立这个问题的线性规划模型,不求解)

14. 某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如表1-3所示。每班护士值班开始时向病房报到,试决定:

(1)若护士上班后连续工作8小时。该医院最少需多少名护士,以满足轮班需要

(2)若除22点上班的护士连续工作8小时外,其他护士由医院排定上1~4班中的两个,则该医院又需多少名护士,以满足轮班需要 表1-3 班 次 1 2 3 4 5 6 工作时间 6:00-10:00 10:00-14:00 14:00-18:00 18:00-22:00 22:00-2:00 2:00-6:00 所需护士人数 60 70 60 50 20 30 15. 一艘货轮分前、中、后三个舱位,它们的容积与最大允许载重量如表1-4所示。现有三种货物待运,已知有关数据列于表1-5。

表1-4

最大允许载重量(t) 容 积(m3) 表1-5

前 舱 2000 4000 中 舱 3000 5400 每件重量(t/件) 8 6 5 后 舱 1500 1500 运价(元/件) 1000 700 600 商品 A B C 数量(件) 600 1000 800 每件体积(m3/件) 10 5 7 又为了航运安全,前、中、后舱的实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。具体要求:前、后舱分别与中舱之间载重量比例上偏差不超过15%,前、后舱之间不超过10%。问该货轮应装载A、B、C各多少件运费收入才最大试建立这个问题的线性规划模型。 16. 时代服装公司生产一款新的时装,据测今后6个月的需求量如表1-6所示。每件时装用工2小时和10元的原材料非,售价40元。该公司1月初又4个工人,

每人每月可工作200小时,月薪2000元。该公司可于任何一个月初新雇工人,但每雇一人需要一次额外支出1500元,也可辞退工人,但每辞退1人需要补偿1000元。如当月生产数超过需求,可留到后面月份销售,但需付库存每件每月5元。当供不应求时,短缺数不需要补上。试帮助该公司决策,如何使6个月的总利润最大。

表1-6 1 2 3 4 5 6 月份 需求 500 600 300 400 500 800

17. 童心玩具厂下一年度的现金流(万元)如表1-7所示,表中负号所示该月现金流出大于流入,为此该厂需借款。借款有两种方式:一是于上一年末借一年期贷款,一次得全部贷款额,从1月份起每月还息1%,于12月归还本金及最后一次利息;二是得到短期贷款。每月初获得,于月底还,月息%,当该厂有多余现金时,可短期存款,月初存入,月末取出,月息%。问该厂应如何进行贷款操作,即能弥补可能出现得负现金流,又可使年末现金总量最大

表1-7 月份 现金流 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -12-10-8 -10 -4 5 -7 -2 15 12 -7 45 18. 宏银公司承诺为某建设项目从2003年起得4年中每年初分别提供以下数额贷款:2003年——100万元,2004年——150万元,2005年——120万元,2006年——110万元。以上贷款均于2002年底筹集齐。但为了充分发挥这笔资金得作用,在满足每年贷款额得前提下,可将多于资金分别用于下列投资项目:

(1) 于2003年初购买A种债券,期限3年,到期后本息合计为投资额得

140%,但限购60万元;

(2) 于2003年初购买B种债券,期限2,到期后本息合计为投资额得

125%限购90万元;

(3) 于2004初购买C种债券,期限2,到期后本息合计为投资额得130%,

但限购50万元;

(4) 于每年年初将任意数额的资金存放于银行,年息4%,于每年底取出。

求宏银公司应如何用这笔筹集到的资金存放于银行,使得2002年底需要筹集到的资金数额为最少。

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4