2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.1.2弧度制限时规范训练

1.1.2 弧度制

【基础练习】

1.将1 920°转化为弧度数为( ) 16

A.

316πC.

3【答案】D

2π32π

【解析】1 920°=5×360°+120°=5×2π+=.故选D.

332.已知扇形的周长为12 cm,面积为8 cm,则扇形圆心角的弧度数为( ) A.1 C.1或4 【答案】C

1

【解析】设扇形的弧长为l,半径为r,则2r+l=12,S扇形=lr=8,解得r=4,l=4

248

或者r=2,l=8.∴扇形的圆心角的弧度数是=1或=4.故选C.

42

π

3.半径为3 cm的圆中,的圆心角所对的弧长为( )

73πA. cm

73

C. cm 7【答案】A

ππ3π

【解析】由题意可得圆心角α=,半径r=3,∴弧长l=αr=×3=.故选A.

7774.下列转化结果错误的是( ) 3π

A.67°30′化成弧度是 rad

87π

C.-150°化成弧度是 rad

6【答案】C

ππ3π10

【解析】1°=,对于A,67°30′=67°30′×=,A正确;对于B,-π=

18018083

10

B.-π化成度是-600°

D.化成度是15° 12πB. cm 219πD. cm 7B.4 D.2或4

2

32

B.

332πD. 3

- 1 -

10π57?180?-π×??°=-600°,B正确;对于C,-150°=-×150°=-π≠π,C错误;318066?π?ππ?180?

对于D,=×??°=15°,D正确.故选C.

1212?π?

5.已知两角和为1弧度且两角差为1°,则这两个角的弧度数分别是________. 1π1π

【答案】+,-

23602360

x+y=1,??π

【解析】设两个角的弧度分别为x,y,因为1°=rad,所以有?π

180x-y=,?180?

x=+,??2360得?1π

y=??2-360.

1π1π

即所求两角的弧度数分别为+,-.

23602360

6.如图所示,图中公路弯道处的弧长l=________.(精确到1 m)

【答案】47 m

π

【解析】根据弧长公式,l=αr=×45≈47(m).

3

7.(1)已知扇形的周长为20 cm,面积为9 cm,求扇形圆心角的弧度数; (2)已知某扇形的圆心角为75°,半径为15 cm,求扇形的面积.

2

【解析】(1)如图所示,设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,圆心角为θ(0<θ<2π), 由l+2r=20,得l=20-2r, 11

由lr=9,得(20-2r)r=9, 22∴r-10r+9=0,解得r1=1,r2=9.

2

l18

当r1=1 cm时,l=18 cm,θ===18>2π(舍去).

r1l2

当r2=9 cm时,l=2 cm,θ==.

r9

- 2 -

2

∴扇形的圆心角的弧度数为.

9

π5π115π22

(2)扇形的圆心角为75×=,扇形半径为15 cm,扇形面积S=|α|r=××15180122212=

3752

π(cm). 8

8.(1)把310°化成弧度; 5π

(2)把 rad化成角度;

12

π7π

(3)已知α=15°,β=,γ=1,θ=105°,φ=,试比较α,β,γ,θ,φ1012的大小.

π31π

【解析】(1)310°= rad×310= rad. 180185π5π?180?(2) rad=×??°=75°.

1212?π?(3)方法一(化为弧度):

α=15°=15×

πππ7π

=,θ=105°=105×=. 1801218012

ππ7π

显然<<1<,故α<β<γ<θ=φ.

121012方法二(化为角度):

β==×?φ=

ππ?180?

?°=18°,γ=1≈57.30°,

1010?π?7π?180?×??°=105°. 12?π?

显然,15°<18°<57.30°<105°,故α<β<γ<θ=φ.

9.已知扇形的周长为30,当它的半径R和圆心角α各取何值时,扇形的面积S最大?试求出扇形面积的最大值.

【解析】设扇形的弧长为l,∵l+2R=30, 11

∴S=lR=(30-2R)R

22=-R+15R

2

?15?2225=-?R-?+.

2?4?

15225

∴当R=时,扇形有最大面积,

24

- 3 -

此时l=30-2R=15,α==2,

15225

故当扇形半径为,圆心角为2时,扇形有最大面积. 24

【能力提升】

lRαπα10.若=2kπ+(k∈Z),则的终边在( )

332

A.第一象限 C.x轴上 【答案】D

B.第四象限 D.y轴上

απαπ

【解析】∵=2kπ+(k∈Z),∴α=6kπ+π(k∈Z),∴=3kπ+(k∈Z).当k3322

为奇数时,的终边在y轴的非正半轴上;当k为偶数时,的终边在y轴的非负半轴上.综22上,终边在y轴上,故选D. 2

2 016π

11.(2018年福建福州期中)把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的

5

αααθ的值是( )

A.-

54π

C.

5【答案】C

2 016π4π6π?6π??4π?

【解析】-=-404π+=-402π-,?-?>??,故|θ|的最小值

555?5??5?为

4π4π

,此时θ=.故选C. 55

12.已知扇形的周长为20,当扇形的圆心角为________弧度时,它有最大的面积. 【答案】2

11【解析】∵扇形的周长为20,∴l+2r=20,即l=20-2r,∴扇形的面积S=lr=(20

22-2r)·r=-r+10r=-(r-5)+25.∴当半径r=5时,扇形的面积最大为25,此时,α=

2

2

π

B.- 54πD.- 5

l20-2×5==2(rad). r5

13.如图所示,用弧度制表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分的角的集合.

- 4 -

【解析】(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成.故满足条件的角的集合为

???3π?α????4

??4π

+2kπ<α<+2kπ,k∈Z?.

3??

π

(2)若将终边为OA的一个角改写为-,此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB6

???π5π

所形成,故满足条件的角的集合为?α?-+2kπ<α≤

12???6

??

+2kπ,k∈Z?.

??

(3)将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分.所以满足条件的角的集合为

???2π5π

?α?+kπ<α<

6??3?

??

+kπ,k∈Z?.

??

- 5 -

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