1.1.2 弧度制
【基础练习】
1．将1 920°转化为弧度数为( ) 16
A．
316πC．
3【答案】D
2π32π
【解析】1 920°＝5×360°＋120°＝5×2π＋＝.故选D．
332．已知扇形的周长为12 cm，面积为8 cm，则扇形圆心角的弧度数为( ) A．1 C．1或4 【答案】C
1
【解析】设扇形的弧长为l，半径为r，则2r＋l＝12，S扇形＝lr＝8，解得r＝4，l＝4
248
或者r＝2，l＝8.∴扇形的圆心角的弧度数是＝1或＝4.故选C．
42
π
3．半径为3 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为( )
73πA． cm
73
C． cm 7【答案】A
ππ3π
【解析】由题意可得圆心角α＝，半径r＝3，∴弧长l＝αr＝×3＝.故选A．
7774．下列转化结果错误的是( ) 3π
A．67°30′化成弧度是 rad
87π
C．－150°化成弧度是 rad
6【答案】C
ππ3π10
【解析】1°＝，对于A,67°30′＝67°30′×＝，A正确；对于B，－π＝
18018083
10
B．－π化成度是－600°
3π
D．化成度是15° 12πB． cm 219πD． cm 7B．4 D．2或4
2
32
B．
332πD． 3
- 1 -
10π57?180?－π×??°＝－600°，B正确；对于C，－150°＝－×150°＝－π≠π，C错误；318066?π?ππ?180?
对于D，＝×??°＝15°，D正确．故选C．
1212?π?
5．已知两角和为1弧度且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是________． 1π1π
【答案】＋，－
23602360
x＋y＝1，??π
【解析】设两个角的弧度分别为x，y，因为1°＝rad，所以有?π
180x－y＝，?180?
1π
x＝＋，??2360得?1π
y＝??2－360.
解
1π1π
即所求两角的弧度数分别为＋，－.
23602360
6．如图所示，图中公路弯道处的弧长l＝________.(精确到1 m)
【答案】47 m
π
【解析】根据弧长公式，l＝αr＝×45≈47(m)．
3
7．(1)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm，求扇形圆心角的弧度数； (2)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形的面积．
2
【解析】(1)如图所示，设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，圆心角为θ(0<θ<2π)， 由l＋2r＝20，得l＝20－2r， 11
由lr＝9，得(20－2r)r＝9， 22∴r－10r＋9＝0，解得r1＝1，r2＝9.
2
l18
当r1＝1 cm时，l＝18 cm，θ＝＝＝18>2π(舍去)．
r1l2
当r2＝9 cm时，l＝2 cm，θ＝＝.
r9
- 2 -
2
∴扇形的圆心角的弧度数为.
9
π5π115π22
(2)扇形的圆心角为75×＝，扇形半径为15 cm，扇形面积S＝|α|r＝××15180122212＝
3752
π(cm)． 8
8．(1)把310°化成弧度； 5π
(2)把 rad化成角度；
12
π7π
(3)已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ1012的大小．
π31π
【解析】(1)310°＝ rad×310＝ rad. 180185π5π?180?(2) rad＝×??°＝75°.
1212?π?(3)方法一(化为弧度)：
α＝15°＝15×
πππ7π
＝，θ＝105°＝105×＝. 1801218012
ππ7π
显然<<1<，故α<β<γ<θ＝φ.
121012方法二(化为角度)：
β＝＝×?φ＝
ππ?180?
?°＝18°，γ＝1≈57.30°，
1010?π?7π?180?×??°＝105°. 12?π?
显然，15°<18°<57.30°<105°，故α<β<γ<θ＝φ.
9．已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角α各取何值时，扇形的面积S最大？试求出扇形面积的最大值．
【解析】设扇形的弧长为l，∵l＋2R＝30， 11
∴S＝lR＝(30－2R)R
22＝－R＋15R
2
?15?2225＝－?R－?＋.
2?4?
15225
∴当R＝时，扇形有最大面积，
24
- 3 -
此时l＝30－2R＝15，α＝＝2，
15225
故当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积. 24
【能力提升】
lRαπα10．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在( )
332
A．第一象限 C．x轴上 【答案】D
B．第四象限 D．y轴上
απαπ
【解析】∵＝2kπ＋(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．当k3322
为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综22上，终边在y轴上，故选D． 2
2 016π
11．(2018年福建福州期中)把－表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的
5
αααθ的值是( )
6π
A．－
54π
C．
5【答案】C
2 016π4π6π?6π??4π?
【解析】－＝－404π＋＝－402π－，?－?＞??，故|θ|的最小值
555?5??5?为
4π4π
，此时θ＝.故选C． 55
12．已知扇形的周长为20，当扇形的圆心角为________弧度时，它有最大的面积． 【答案】2
11【解析】∵扇形的周长为20，∴l＋2r＝20，即l＝20－2r，∴扇形的面积S＝lr＝(20
22－2r)·r＝－r＋10r＝－(r－5)＋25.∴当半径r＝5时，扇形的面积最大为25，此时，α＝
2
2
π
B．－ 54πD．－ 5
l20－2×5＝＝2(rad)． r5
13．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
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【解析】(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为
???3π?α????4
??4π
＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z?.
3??
π
(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB6
???π5π
所形成，故满足条件的角的集合为?α?－＋2kπ<α≤
12???6
??
＋2kπ，k∈Z?.
??
(3)将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为
???2π5π
?α?＋kπ<α<
6??3?
??
＋kπ，k∈Z?.
??
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