常微分方程试题
一、填空题(每小题3分，共39分)
1.常微分方程中的自变量个数是________.
2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程 =g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.
4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程 =(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程 =f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上， 满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h上的 连续解.
7.方程 =x2+xy， 满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程 +a1(t) +…+an-1(t) +an(t)x=0
中ai(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，xn(t)为方程n个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.
10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，xn(t)是方程组
x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.
11.初值问题 (t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.
12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵expAt=________. 13.方程组
的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = .
2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程
(y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程
5.(7分)求方程：
S″(t)-S(t)=t+1
满足S(0)=1, (0)=2的解. 6.(7分)求方程组
的基解矩阵Φ(t). 7.(7分)验证方程：
有奇点 x1=1, x2=0,并讨论 相应驻定方程的解的稳定性. 三、证明题(每小题8分，共16分) 1.设f(x,y)及 连续， 试证方程 dy-f(x,y)dx=0
为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子. 2.函数f(x)定义于-∞ 存在唯一的一个解. 常微分 方程试题参考答案 一、填空题(每小题3分，共39分) 1. 1 2. 2+c1t+c2 3.u= 4. c为任意常数 5.y= (x+1)4+c(x+1)2 6.y=y0+ 7. (x)= 8.对任意t 9.x(t)=c1et+c2tet+c3e-t+c4te-t 10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +cnxn(t) 11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=3 12.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ] 13.焦点 二、计算题（共45分） 1. 解：将方程分离变量为 改写为 等式两边积分得 y-ln|1+y|=ln|x|- 即 y=ln 或 ey= 2. 解：令 则得 =0 当 0时 - arc cosy=t+c1 y=cos(t+c1) 即 则x=sin(t+c1)+c2 当 =0时 y= 即 x 3. 解：这里M=y-1-xy, N=x 令 u=xye-x u关于x求 偏导数得 与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有 则 因此 u=xye-x+e-x 方程的解为 xye-x+e-x=c 4. 解：方程改写为 这是伯努利方程，令 z=y1-2=y-1 代入方程 得 解方程 z= = 于是有 或 5. 特征方程为 特征根为 对应齐线性方程的通解为s(t)=c1et+c2e-t f(t)=t+1, 不是特征方程的根 从而方程有特解 =（At+B）,代入方程得 -(At+B)=t+1 两边比较同次幂系数得 A=B=-1 故通解为 S(t)=c1et+c2e-t-(t+1) 据初始条件得 c1= 因此所求解为： S(t)= 6. 解：系数矩阵A= 则 ， 而det 特征方程det( )=0, 有特征根 对 对 对 因此基解矩阵 7. 解：因 故x1=1，x2=0是方程组奇点 令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得 化简得 * 这里 R(X)= , 显然 （当 时） 方程组*中，线性部分矩阵 det(A- )= 由det(A- )=0 得 可见相应驻定解渐近稳定 三、证明题（每小题8分，共16分） 1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为 线性方程 则f(x,y)= 因此仅有依赖于x的 积分因子 反之，若仅有依赖于x的 积分因子。 这里Ｍ＝－f(x,y),N=1 由- 方程为 这是线性方程. 2.证明：由条件|f(x1)-f(x2)| N|x1-x2|,易 知，f(x)为连续函数， 任取x0 作逐步点列 xn+1=f(xn) n=0,1, 考虑级数x0+ 因 由归纳法知对任意k,|xk-xk-1| 故级数x0+ 收敛 即序列{xn}收 敛，设 ** 对xn+1=f(xn),两 边求极限，注意f(x)连续，故x=f(x) 即x*是 方程x=f(x)的解 又设 是方 程x=f(x)的任一解，则 因N<1,必 有x*= 因此解是唯一的