1-2 求正弦信号x(t)?x0sin?t的绝对均值
解：
[??绝对均值
?x和均方根值xrms。
?1?cos?2? sin?]
22T?x?均方根值
1T1T??x(t)dt??x0sin?tdtT0T02x0T?T20sin?tdt?2x0x1[?cos?t]?0T??0T2
xrms?1T21T22?x(t)dt?x0sin?tdtT?0T?02x0T?T02x01?cos2?tdt?22TT?T0(1?cos2?t)dt
2x012T?[t0?sin2?t]?x02T2?20 1-3 求指数函数x(t)?Ae解：
?at(a?0,t?0)的频谱。
??X(f)??x(t)e?j2?ftdt??Ae?ate?j2?ftdt??0Ae?(a?j2?f)t0a?j2?fAA(a?j2?f)??a?j2?f(a?j2?f)(a?j2?f)Aa2?fA?2?ja?4?2f2a2?4?2f2?A?e?(a?j2?f)tdt????0
（图略）。
1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。
图1-25 题1-4图
解：单位阶跃函数
?1?u(t)???0?时域上当??0时的极限，其频谱为e??tt?0t?0
??t阶跃信号不满足绝对可积的条件，不能由定义式直接求其频谱。可把单位阶跃函数看作指数信号e的频谱在??0时的极限。
在
5
Xe(f)??x(t)e?j2?ftdt??e??te?j2?ftdt??0?1e?(??j2?f)t0??j2?f1???2??j2?f??4?2f????
2?j2?f?2?4?2f2?XeR(f)?jXeI(f)实频部分的极限UR(f)为：
??0??0??0?2?4?2f2?UR(f)?limXeR(f)?lim2????0??0??4?2f2UR(f)?limXeR(f)?lim而
??0??f?0 f?0
lim?XeR(f)df?lim???0??df???2?4?2f2??lim????0??1?(12?fd()22?f?2?f)?limarctan??0??????
?由以上三式可知，UR(f)为一冲激函数，冲激强度为?，即
UR(f)???(f)
虚频部分的极限UI(f)为：
UI(f)?limXeI(f)?lim??0?2?f??0?2?4?2f2??1 2?f因此，单位阶跃函数的频谱为
U(f)?UR(f)?jUI(f)???(f)?j符号函数
12?ft?0t?0
?1?sgn(t)????1??e??t?xe(t)???t??e?X(f)??符号函数也不满足绝对可积的条件，不能由定义式直接求其频谱。可把符号函数看作双边奇指数信号
t?0,??0t?0,??0
在??0时的极限。单边指数信号的频谱上面以求出，则双边指数信号的频谱为
114?f???j2 22??j2?f??j2?f??4?f由于把符号函数看成双边指数信号xe(t)在??0时的极限，那么它的频谱就为双边指数信号的频谱在??0时的极限，即
?j4?f1sgn(f)?lim2??j
??0??4?2f2?f
6
1-5 求被截断的余弦函数cos?0t （见图1-26）的傅里叶变换
?cos?0t?x(t)???0?
t?T
t?T
图1-26 题1-5图
?1t?T?解：被截断的余弦函数y(t)可以看作矩形窗函数w(t)??与余弦函数x(t)?cos?0t的乘积
t?T?0?y(t)?w(t)x(t)
而余弦函数x(t)的频谱为
1X(f)?[?(f?f0)??(f?f0)]
2矩形窗函数w(t)的频谱为
?1?j2?fTW(f)?(e?ej2?fT)j2?f
sin2?fT?T?Tsinc(2?fT)2?fT根据频域卷积定理，时域上两个函数相乘，其频谱为两个函数频谱的卷积。因此，截断的余弦函数y(t)的频
谱为
Y(f)?W(f)?X(f)1?Tsinc(2?fT)?[?(f?f0)??(f?f0)]
2TT?sinc[2?(f?f0)T]?sinc[2?(f?f0)T]22?函数与其它函数的卷积的结果，就是在发生?函数的坐标位置（以此作为坐标原点）将该函数重新构图。
（图略）。
1-6 求指数衰减振荡信号x(t)?e?atsin?0t的频谱。
?e?at??at解：指数衰减振荡信号x(t)?esin?0t可以看作单边指数函数xe(t)???0?函数xs(t)?sin?0t的乘积。
而正弦函数xs(t)?sin?0t的频谱为
1Xs(f)?j[?(f?f0)??(f?f0)]
2
t?0t?0(a?0)与正弦
7
?e?at?单边指数函数xe(t)???0?t?0t?0Xe(f)?(a?0)的频谱为
1a?2a?j2?fa?4?2f?j2?f 222a?2?f2根据频域卷积定理，时域上两个函数相乘，其频谱为两个函数频谱的卷积。因此，指数衰减振荡信号x(t)的频谱为
X(f)?Xe(f)?Xs(f)2?f1]?j[?(f?f0)??(f?f0)]22222a?4?f ?(f?f0)a?j?2[a2?4?2(f?f0)2]a2?4?2(f?f0)2?[aa2?4?2f?j?ja2[a2?4?2(f?f0)2]??(f?f0)a2?4?2(f?f0)2?函数与其它函数的卷积的结果，就是在发生?函数的坐标位置（以此作为坐标原点）将该函数重新构图。
（图略）。
1-7 设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示，现乘以余弦型振荡cos?0t(?0??m)。在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦型振荡cos?0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cos?0t的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若?0??m时将会出现什么情况?
图1-27 题1-7图
解：载波（余弦函数）cos?0t的傅里叶变换
1X(f)?[?(f?f0)??(f?f0)]
2根据频域卷积定理，时域上两个函数相乘，其频谱为两个函数频谱的卷积。因此，调幅信号f(t)cos?0t的傅里叶变换
1X(?)?F(?)?Xc(?)?F(?)?[?(???0)??(???0)]2
1?[F(???0)?F(???0)]2若?0??m时将会出现频率混叠现象。
1-8 求正弦信号x(t)?x0sin(?t??)的均值?x、均方值?x和概率密度函数p(x)。
解：均值
2?0?2?Tsin?2?1?cos? 28