第7章 参数估计
练习题
7.1 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。
（1） 样本均值的抽样标准差?x等于多少? （2） 在95%的置信水平下，边际误差是多少？ 解：⑴已知??5,n?40,x?25
样本均值的抽样标准差?x??n?540?10?0.79 4⑵已知??5,n?40,x?25，?x?10，1???95% 4?Z?2?Z0.025?1.96
边际误差
E?Z?2?n?1.96*10?1.55 47.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客
组成了一个简单随机样本。
（1） 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差； （2） 在95%的置信水平下，求边际误差；
（3） 如果样本均值为120元，求总体均值?的95%的置信区间。 解.已知.根据查表得z?/2=1.96 （1）标准误差：?X?（2）．已知z?/2=1.96
所以边际误差=z?/2*
?n?1549?2.14
sn?1.96*sn1549=4.2
（3）置信区间：x?Z?2?120?1549?1.96??115.8,124.2?
7.3 从一个总体中随机抽取n?100的随机样本，得到x?104560，假定总体标准差
??85414，构建总体均值?的95%的置信区间。
Z??1.96
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Z??2?n?1.96*85414100?16741.144
x?Z?.2?n?104560?16741.144?87818.856
x?Z?.2?n?104560?16741.144?121301.144
置信区间：（87818.856，121301.144）
7.4 从总体中抽取一个n?100的简单随机样本，得到x?81，s?12。
（1） 构建?的90%的置信区间。 （2） 构建?的95%的置信区间。 （3） 构建?的99%的置信区间。 解；由题意知n?100, x?81,s?12.
（1）置信水平为1???90%，则Z??1.645.
2由公式x?z??2sn?81?1.645?12100?81?1.974
即81?1.974??79.026,82.974?, 则?的90%的置信区间为79.026~82.974 （2）置信水平为1???95%， z??1.96
2由公式得x?z??2sn=81?1.96?12?81?2.352 100即81?2.352=（78.648，83.352）， 则?的95%的置信区间为78.648~83.352 （3）置信水平为1???99%，则Z??2.576.
2由公式x?z??2sn=?81?2.576?12100?81?3.096
即81?3.1
则?的99%的置信区间为
7.5 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。
（1）x?25，??3.5，n?60，置信水平为95%。
（2）x?119.6，s?23.89，n?75，置信水平为98%。 （3）x?3.419，s?0.974，n?32，置信水平为90%。 ⑴X?25,??3.5,n?60,置信水平为95%
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解：Z??1.96,
2 Z?2?n?1.96?3.560?0.89
置信下限：X?Z?2?n?25?0.89?24.11
置信上限：X?Z?2?n?25?0.89?25.89
?置信区间为（24.11，25.89）
⑵X?119.6,s?23.89，n?75，置信水平为98%。 解：Z??2.33
2 Z?2sn?2.33?23.8975snsn?6.43
置信下限：X?Z?2?119.6?6.43?113.17
置信上限：X?Z?2?119.6?6.43?126.03
113.17，126.03） ?置信区间为（
⑶x=3.419,s=0.974,n=32,置信水平为90%
根据t=0.1，查t 分布表可得Z0.05(31)?1.645.Z?/2(所以该总体的置信区间为
sn)?0.283
x???/2（
sn)=3.419?0.283
即3.419?0.283=（3.136 ，3.702）
所以该总体的置信区间为3.136~3.702.
7.6 利用下面的信息，构建总体均值?的置信区间。
（1） 总体服从正态分布，且已知??500，n?15，x?8900，置信水平为95%。 （2） 总体不服从正态分布，且已知??500，n?35，x?8900，置信水平为95%。 （3） 总体不服从正态分布，?未知，n?35，x?8900，s?500，置信水平为
90%。
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（4） 总体不服从正态分布，?未知，n?35，x?8900，s?500，置信水平为
99%。
（1）解：已知??500，n?15，x?8900，1-??95%，z??1.96
2x?z?2?n?8900?1.96?50015?(8647,9153)
所以总体均值?的置信区间为（8647，9153）
（2）解：已知??500，n?35，x?8900，1-??95%，z??1.96
2x?z?2?n?8900?1.96?50035?(8734,9066)
所以总体均值?的置信区间为（8734，9066）
（3）解：已知n?35，x?8900，s=500,由于总体方差未知，但为大样本，
可用样本方差来代替总体方差
∵置信水平1—?=90% ∴z??1.645
2∴置信区间为x?z?2sn?81?1.645?50035?(8761,9039)
所以总体均值?的置信区间为（8761，9039）
（4）解：已知n?35，x?8900，s?500，由于总体方差未知，但为大样
本，可用样本方差来代替总体方差
?置信水平1—α=99% ∴z??2.58
2∴置信区间为x?z?2sn?8900?2.58?50035?(8682,9118)
所以总体均值?的置信区间为（8682，9118）
7.7 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽
取36人，调查他们每天上网的时间，得到的数据见Book7.7（单位：h）。求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。 解：已知：x?3.3167 s?1.6093 n=36 1.当置信水平为90%时，z??1.645，
2x?z?2sn?3.3167?1.6451.609336?3.3167?0.4532
所以置信区间为（2.88，3.76）
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2.当置信水平为95%时，z??1.96，
2x?z?2sn?3.3167?1.961.609336?3.3167?0.5445
所以置信区间为（2.80，3.84） 3.当置信水平为99%时，z??2.58，
2x?z?2sn?3.3167?2.581.609336?3.3167?0.7305
所以置信区间为（2.63，4.01）
7.8 从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值见Book7.8。求总体均值95%
的置信区间。 已知：总体服从正态分布，但?未知，n=8为小样本，??0.05，t0.05(8?1)?2.365
2根据样本数据计算得：x?10,s?3.46 总体均值?的95%的置信区间为： x?t?2sn?10?2.365?3.468?10?2.89，即（7.11，
12.89）。
7.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样
本，他们到单位的距离（单位：km）数据见Book7.9。求职工上班从家里到单位平均距离95%的置信区间。 已知：总体服从正态分布，但?未知，n=16为小样本，?=0.05，t0.05/2(16?1)?2.131 根据样本数据计算可得：x?9.375，s=4.113 从家里到单位平均距离得95%的置信区间为：
x?t?/2sn?9.375?2.131?4.11314?9.375?2.191，
即（7.18，11.57）。 7.10 从一批零件中随机抽取36个，测得其平均长度为149.5cm，标准差为1.93cm。
（1） 试确定该种零件平均长度95%的置信区间。
（2） 在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。 解：已知??103,n=36, x=149.5,置信水平为1-?=95%，查标准正态分布表得
??/2=1.96.
根据公式得：
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