2013年省级重点高中自主招生数学模拟题
一、选择题
21、下列图中阴影部分面积与算式?3?4??1??2???2?1的结果相同的是………………（ ）
2、如果关于x的方程x2?ax?a2?3?0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（ ） A、?2?a?2 B、3?a?2 C、?3?a?2 D、?3?a?2
3、P是凸四边形内的一点，P与四个顶点连接得到的四条线段的长分别为1，2，3，4。那么这个四边形的面积的最大值为( )
A、10.5 B、12 C、12.5 D15
4、设ａ，ｂ，ｃ分别为△ＡＢＣ的三边的长，且aa?bb?a?b?c，则它的内角∠Ａ、∠Ｂ的关系
是（ ）
（A）∠B＞2∠A （B）∠B＝2∠A （C）∠B＜2∠A （D）不确定 5、满足y?x?3?x?2007的正整数数对（x，y）（ ）
（A）只有一对 （B）恰有两对 （C）至少有三对 （D）不存在
6、已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（ ）
（A）60°＜A＜80° （B）30°＜A＜80° （C）10°＜A＜60 （D）10°＜A＜30° 7、关于x的方程
2x?ax?1?1的解是正数，则a的取值范围是 ．
8、如图，抛物线y?ax2?bx?c与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围
是 ．
9、对于满足x?2的所有实数x，使不等式p2?px?1?2p?x恒成立，则p的取值范围为（ ） A．p?1 B．p?1或p??1 C．p?3或p??1 D．p?3或p?1
10、如图，记二次函数y??x2?1的图象与x轴的正半轴交点为A，将线段OA分成n等分.设
分点分别为P1，P2，…，Pn-1，过每个分点作x轴的垂线，分别与该图象交于点Q1，Q2，…，Qn-1，
QSn2再记直角三角形OP?111，P1P2Q2，…的面积分别为S1，2，…，这样就有S1?2n3，
Sn2?42?2n3，…；记W=S1+S2+…+Sn-1，当n越来越大时，W最接近的常数是（ ）
（A）
23 （B）1112 （C）3 （D）4 11、 如图,已知等边?ABC外有一点P，P 落在?ABC
内，设P到BC、CA、AB的距离分别为hＣ
h1,h2,h3， 1满足h1?h2?h3?6，那么等边?ABC的面积为（ ）
hＰ
2h3
A．43 B． 83 Ｂ
Ａ
C． 93 D． 123
第11题图
12、如图，△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分（即
），且DE∥FG∥BC，BC＝
，
FG－DE＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13、在△ABC中，∠C=900，斜边AB=10，直角边AC、BC的长分别是关于x的方程
x2?mx?3m?6?0的两个实根，则sinA+sinB+sinA?sinB= 。
14、三角形的三边为a,b,c,若b?10,a,c为整数，且a?b?c,则该三角形是等边三角形的概率是 。
15、如图，□ABCD的面积是60，E、F分别是AB、BC的 中点， ADAF与DE、BD分别交于G、H，则四边形EBHG的 面积是 。 EGH16、 不等式?3?1x?2的解为___ _______. BFC17、已知a、b、c均为非零实数，满足：
b?c?ac?a?ba?b?c(a?b)(b?c)(c?a)a?b?c，则abc的值为_____ ___。 18、等腰三角形的一条腰上的高线等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角的度数等于 。 19、二次函数
的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2008在y轴
的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2008在二次函数
位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，
△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2007B2008A2008都为等边三角形，则△A2007B2008A2008的边长= _________ ．
20、已知实数x,y满足方程组??x3?y3?19,则x2?y2? . ?x?y?1,
三、解答题
21、对于x的二次三项式ax2?bx?c(a?0)。
（1）当c?0时，求函数y??2|ax2?bx?c|?1的最大值；
（2）若不论k为任何实数，直线y?k(x?1)?k24与抛物线y?ax2?bx?c有且只有一个公
共点，求a，b，c的值。
22、如图，已知双曲线C1:y?1x、抛物线C2:y?x2?12，直线l:y?kx?m. （Ⅰ）若直线l与抛物线Ck22有公共点，求4?m的最小值； （Ⅱ）设直线l与双曲线C1的两个交点为A、B，与抛物线C2的两个交点为C、D.是否存在直线l，使得A、B为线段CD的三等分点？若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由。
23、如图，在△ABC中，已知AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点H，P为边AB的中点，过点C作CQ⊥PH，垂足为Q，求证：PE2?PH?PQ。
A E
QHP
CDB
24、如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点P在右半圆上移动
点P与点A、B不重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C；点Q在射线BM 上移动（点M在点B的右边），且在移动过程中保持OQ∥AP.
(1)若PC、QO的延长线相交于点E，判断是否存在点P，使得点E恰好在⊙O上？ 若存在，求出?APC的大小；若不存在，请说明理由； (2)连结AQ交PC于点F，设k?PFPC，试问：k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结A
论．
E
C O
．
F
P
B
Q M
（第23题图）
25、如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M?在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．
求证：（1）M为BD的中点；（2）ANCN?AMCM．
26、如图：直线y??x?18分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y?2x分别与AB交于C点，与过点A且平行于y轴的直线交于D点．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q ，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与?ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．（1）当0﹤t﹤12时，求S与t之间的函数关系式；（2）求（1）中S的最大值； (3)当t﹥0时，若点?10,10?落在正方形PQMN的内部，求t的取值范围．