南京师范大学泰州学院本科毕业论文
3 伯努利家族在数学中的贡献
3.1 伯努利方程
伯努利方程：形如
dy?P(x)y?Q(x)yn (3.1) dx的方程称为伯努利方程，其中n为常数，且n?0,1.
伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为一阶线性的. 伯努利方程的解法 (1)一般解法
伯努利方程：
其一般解法步骤如下：
① 方程两端同除以yn得：
y?ndy?p(x)y1?n?Q(x) dxdy?P(x)y?Q(x)yn（n?0，1）， dx② 令z?y1?n即可化为一阶线性微分方程：
dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x) dx③ 通过常数变易法求得一阶线性非齐次方程的通解． ④ 最后经变量代换得原方程的通解，
(n?1)p(x)dx 即： y1?n?(1?n)e例3.1.1 求解方程
??Q(x)e(1?n)?p(x)dxdx?c?.
?????dyyx2??dx2x2y
解 这是一个伯努利方程，两端同乘以2y，得
dyy22y??x2
dxx令y2?z,代入有
dzz??x2, dxx8
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这已经是线性方程，它的解为 z = Cx+12x3.
于是，原方程的解为 y = ?Cx?1x32.
(2)常数变易法
方程y??p(x)y?Q(x)yn(n?0,1)， （3.2）的齐次方程的通解为：y?ce??p(x)dx.
设原方程的通解为：
y?c(x)e??p(x)dx，
代入（3.2）得：
c?(x)e??p(x)dx?cn(x)e?n?p(x)dxQ(x)．
这是一个可分离变量的微分方程，可求出c1?n(x)． 即： c1?n(x)?(1?n)[?Q(x)e(1?n)?p(x)dxdx?c]，
则原方程的通解为:
y1?n?(1?n)e(n?1)?p(x)dx[?Q(x)e(1?n)?p(x)dxdx?c]．例3.1.2 解微分方程：
dy?6yx??xy2dx 解 原伯努利方程的齐次方程为：
dydx?6yx?0， 其通解为：
y?cx6．
设原方程的通解为：
y?c(x)x6，
代入原方程得：
c?(x)x6?6c(x)x5?6c(x)x5??xc2(x)x12，
整理得：
c?(x)??c2(x)x7，
积分得：
9
3.2）（
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x8 c(x)??c，
8?1则原方程的通解为：
x2c y??6．
8x?1
3.2 伯努利概型
对于伯努利家族在概率方面的研究，我们很容易想到曾经学过的伯努利概型，在许多问题中，我们对试验感兴趣的是试验中某件事是否发生。例如，掷硬币试验中，关心的是出现正面还是出现反面;产品抽样检查中，注意抽取的产品是正品还是废品；射击试验中命中还是不命中；比赛中，胜还是负；??。在这类问题中试验的结果只有两个，或者事件A发生，或者事件A不发生即A不发生，这种只有两个结果的试验称为伯努利试验。
现在考虑重复进行n次独立的伯努利试验。这里“重复”的意思是指各次试验的田间是相同的。它意味着各次试验中事件A发生的概率保持不变，设这都是p（从而A的概率也保持不变设都是q?1?p。“独立”的意思是指各次试验的结果是相互独立的。这种试验所对应的数学模型成为伯努利模型。有时为了突出试验次数n，也称为n次伯努利概型或n重伯努利概型。
关于伯努利概型，有如下的重要的定理。
定理3.2 对于伯努利概型，事件A在n次试验中发生k次的概率为
kkn?kPn(k)?Cnpq（0?k?n）
证明 记得Bk?“n次试验中事件A发生k次”，Ai=“第i次试验中事件A发生”，i=1,2,3，?,n.事件Bk应是n次试验中k次发生A其余n-k次发生A的一切可能的事件的和，即
Bk?A1A2?AkAk?1An???A1A2An?kAn?k?1?An
k显见，和式中共有Cn项，且两两互不相容；有试验的独立性，可以知道各项中的诸事
件是相互独立的，于是不难算得各项概率均为pkqn?k。利用概率的有限可加性知P（B）
kkn?k=Cnpq，即
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kkn?k Pn(k)?Cnpq.
例3.2.1 在图书馆中只有存放技术书和数学书，任一读者借技术书的概率为0.2，而借数学书的概率为0.8.设每人只借一本书，有5名读者依次借书，求至多有2人借数学书的概率。
解 一个读者节一本书有两种结果，或者借数学书（事件A）。或者借技术书（事件A）,因此一个读者借一本书可以看作是一次伯努利试验,5名读者各借一本书可以看作是n=5的伯努利概型。问题归结为计算5次伯努利概型事件中A至多发生2次的概率，其中P(A)=0.8，P(A)=0.2.按照定理的所求概率为 P =
?P(k)
5k?0242302 = C5(0.2)5+C1(0.8)(0.2)+C(0.8)(0.2) 559 ?0.057
例3.2.2 某厂每天的产品分三批包装，规定每批产品的次品率低于0.01才能出产。某日有三批产品等待检验出厂，检验员进行抽样检查，从三批产品中各抽出一件进行检验，发现有一件是次品,问该日产品能否出厂？
解： 假设该日产品能出厂，表明每批产品的次品率都低于0.01，在这条件下，我们来计算事件B=“3件产品中至少有1件是次品”的概率。假如将抽出的一件产品是次
品看作事件A，是正品看作A,那么P（A）=p?0.01，所求概率为3次伯努利概型中事件A至少发生一次的概率，于是
P（B）= ?P3(k) = 1- P3(0)
k?1300 =1- C3p （1-p）3
=1-（1-p）3?1-（0.99）3?0.03
这是一个小概率，在一次试验中B可以认为是不可能发生的。然而现在经过一次检查中发现有一次是次品，也就是小概率事件B在一次试验中竟然发生了，这表明原来假设不正确，即该日产品不能出厂。
3.3 伯努利大数定律
伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。因此概率论历史上第一个极限定理属于伯努利。它是概率论与数理统计学的基本定律之一，属于弱大数定律之一，当然也称为伯努利大数定律。
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